邊界，（），是點集拓樸的概念，拓扑空间 X 的子集 S 的边界是从 S 和从 S 的外部都可以接近的点的集合。更嚴格的说，它是屬於 S 的闭包但不是 S 的內點的所有点的集合。S 的边界的元素叫做 S 的邊界點（）。集合 S 的边界的符号包括 bd(S)、fr(S) 和 ，\partial S。某些作者（比如 Willard 在 General Topology 中）使用术语“边境”（frontier）而不用边界来试图避免混淆于代数拓扑学中使用的边界概念。
S 的边界的连通单元叫做 S的边界单元。
定义
拓扑空间(X,\tau)的子集S的边界（記為\partial S）有一些常用及等价的定义:
- S的闭包减去S的内部：\partial S = \bar{S} - S^o 。
- S的闭包和其补集的闭包的交集：\partial S = \bar{S} \cap \overline{ (X - S)}。
- \partial S是所有满足以下条件的点x的集合：x的每个邻域都包含至少一个属于S的點，以及至少一个不属于S的點。这些點x称为S的边界点。
性质
- 集合的边界是闭集。
- p 是某集合的边界点，当且仅当所有 p 的邻域包含至少一个点属于该集合且至少一个点不属于该集合。
- 某集合的边界等于该集合的闭包和该集合的补集的闭包的交集。
- 某集合是闭集，当且仅当该集合的边界在该集合中；某集合是开集，当且仅当该集合与其边界不相交。
- 某集合的边界等于其补集的边界。
- 某集合的闭包等于该集合和其边界的并集。
- 某集合的边界为空，当且仅当该集合既是开集也是闭集(也就是闭开集)。
举例
- 若 X=[0,5) \,，则 \partial X = \{0,5\}。
- \partial \overline{B}(\mathbf{a}, r) = \overline{B}(\mathbf{a}, r) - B(\mathbf{a}, r)
- \partial D^n \simeq S^{n-1}
- \partial \emptyset = \emptyset
- 在 R3 中，若 Ω=x2+y2 ≤ 1且Z=0，则 ∂Ω = Ω；但在 R2 中，∂Ω = {(x, y) | x2+y2 = 1}。所以，集合的边界依赖其背景空间。
引用
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