一致空间
在拓扑学這個數學領域裡，一致空间（uniform space）是指带有一致结构的集合。一致空间是一個拓撲空間，有可以用来定义如完备性、一致连续及一致收敛等一致性質的附加结构。 一致结构和拓扑结构之间的概念区别在於，一致空间可以形式化有关于相对邻近性及点间临近性等特定概念。换句话说，「x 邻近于a 胜过y 邻近于b」之類的概念，在一致空间中是有意义的。而相对的，在一般拓扑空间内，给定集合A 和B，有意义的概念只有：点x 能“任意邻近”A（…
标签：#点集拓扑学
共 60 篇文章
有限交集性质
在点集拓扑学中，有限交集性质是集合 X 的子集的集合（子集族，即幂集P(X) 的子集）的性质。一个集合有这个性质如果这个集合的任何有限个子集的交集为非空。 定义 设 X 是集合，带有 A=\{A_i\}_{i\in I} 是 X 的子集族。则集合 A 有有限交集性质（fip），如果任何有限子集合 J\subset I 都有非空交集 \bigcap_{i\in J} A_i。 讨论 这个条件被平凡的满足，如果在整个搜集上的交集非空（特别是…
紧生成空间
在拓扑学中，紧生成空间（又称*k-空间*）是一种拓扑空间、其拓扑为所有紧致子空间族的凝聚。具体而言，我们称拓扑空间X 为紧生成空间，当它满足： ::子空间A 是X 中的闭集当且仅当对所有紧子集K ⊆X，A ∩K 是K 中的闭集。 等价地，我们也可以将以上条件中的“闭集”替换成“开集”。实际上，只要X 的拓扑是任意紧覆盖的凝聚（在以上的意义上），那么它的拓扑就是所有紧致子空间的凝聚。 相似地，紧生成豪斯多夫空间 是紧生成的豪斯多夫空间。与…
N-连通
在数学的分支拓扑学中，一个拓扑空间 X 称为 *n-连通*的当且仅当它是道路连通的且其开始 n 个同伦群为平凡群，即 :\pi_i(X) \equiv 0~, \quad 1\leq i\leq n , 这里左边是第 i 个同伦群的记号。道路连通的条件也能表达为 0-连通，当定义“0 维同伦群”为： :\pi_0(X) := [S^0, X]. 一个拓扑空间 X 是道路连通的当且仅当其 0 维同伦群消失，因为道路连通性意味着 X 中任何…
孤点
在拓扑学中，考虑集合X中的点x，如果x属于X的子集S，且在X中存在一个x的邻域，其中不包括S中的其他点，那么x叫做子集S的一个孤点或孤立点。 特别的，在欧几里得空间（或度量空间）中，考虑集合S及其中的一个点x，如果存在一个包含x的开球，其中不包含S中的其他点，那么x是S的孤点。等价的说，集合S中的一个点x是孤点，当且仅当x不是S的会聚点。 只由孤点构成的集合称为离散集合。欧几里得空间的离散子集都是可数的；但是一个可数集合不一定是离散的，…
庫拉托夫斯基十四集問題
在点集拓扑学中，庫拉托夫斯基十四集問題敘述是：給定拓樸空間的子集S，對S做任意有限次數的取補集或閉包，最多可以得到幾個不同的集合？ 本問題又被稱作閉包補集問題，由庫拉托夫斯基於1922年提出，並給出了解答 14 。约翰·L·凯利撰寫的拓樸學經典教科書 General Topology 將庫拉托夫斯基十四集問題收錄做為一題習題，使得本問題在往後的 30 年間被許多人所熟知。 證明 對所有子集A，將A的補集記為A^/，閉包記為A^-，則有以…
Stone布尔代数表示定理
在数学中，斯通氏布尔代数表示定理声称所有布尔代数都同构于集合域。这个定理是深入理解在二十世纪上半叶所拓展的布尔代数的基础。这个定理首先由斯通氏（1936年）证明，并以他的姓氏命名。斯通氏通过他对希尔伯特空间上的算子的谱理论的研究而得出了它。 定理 斯通氏表示定理断言布尔代数同构于如下形式的它的那些超滤子的集合的所有子集的代数，{{Serif|{U : b ∈ U}|}} 对布尔代数的某个元素 。 可能令人惊奇，它的证明要求选择公理。这个…
特殊化预序
在数学分支拓扑学中，特殊化（或规范）预序是在拓扑空间上的自然预序。对在实践中考虑的大多数空间，特别是满足T0 分离公理的那些空间，这个预序甚至是偏序（叫做特殊化序）。在另一方面，对于T1空间这个次序成为平凡的而没有价值。 特殊化序经常在计算机科学应用中考虑，这里的T0空间出现在指称语义中。特殊化序对于识别在偏序集合上合适的拓扑空间是重要的，这在序理论所要做的。 定义和动机 考虑任何拓扑空间X。在X上的特殊化预序≤定义自设置 :x ≤ y…
區域 (數學)
内点与开集 设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，如果存在点P的某一邻域，里面所有点都在E内，则称P为E的内点。如果点集E的点都是内点，则称E为开集。 边界 如点P的任意邻域内既有属于E的点也有不属于E的点（点P本身可以属于E，也可以不属于E），则称P为E的边界点。E的边界点的全体称为E的边界。 连通性 设D是开集，如果对于D内任何两点，都可用折线联结起来且该折线上的点都属于D，则称开集D是道路连通的。 开区域与闭区域 连通的开集…
局部性质
在数学中，一个现象如果是局部的，它在足够小的或者任意小的点的邻域内显现。 单独一个空间的性质 一个拓扑空间被叫做展现局部性质，如果这个性质展现在“临近”的每一点对于下面不同的情况: 每一点有一个邻域展现出这个性质； 每个点有一组邻域基的集合显现这个性质。 第二种情况一般强于第一种情况，并且一定要小心区分这两种情况的区别。举个例子，一些变量在定义在局部紧性而引发出的不同情况对于局部的理解。 给一些等价概念(比如，同胚，等距变换)在拓扑空间…
餘維數
數學中，餘維數（codimension）是一個基礎幾何學概念，使用在向量空間中的子空間上，且更廣義地，使用在流形中的子流形上，以及代數簇適當的子集合上。 若 W 是一向量空間 V 的一個線性子空間，則 W 在 V 的 餘維數是商空間 V/W 的維數。若V是有限維的，則 :\operatorname{codim}(W) = \dim(V/W) = \dim(V) - \dim(W). 另外，有限维空间通常在拓扑向量空间的研究中是有用的。 …
稠密集
在拓扑学及数学的其它相关领域，给定拓扑空间X及其子集A，如果对于X中任一点x，x的任一邻域同A的交集不为空，则A称为在X中稠密。直观上，如果X中的任一点x可以被A中的点很好的逼近，则称A在X中稠密。 等价地说，A在X中稠密当且仅当X中唯一包含A的闭集是X自己。或者说，A的閉包是X，又或者A的补集的内部是空集。 度量空间中的稠密集 在度量空间(E,d)中，也可以如下定义稠密集。当X的拓扑由一个度量给定时，在X中A的闭包\overline{…
Sorgenfrey平面
在拓撲學，Sorgenfrey平面是一个經常引用到的反例。它是兩條Sorgenfrey線的積（Sorgenfrey線是賦予了下限拓撲的實數線）。Sorgenfrey線和Sorgenfrey平面是以美國數學家 Robert Sorgenfrey命名。 Sorgenfrey平面（現在開始用 \mathbb{S}表示）的其中一組基是所有「包含左邊、左下頂點、下邊而不包含其他邊、頂點」的長方形。\mathbb{S}上的開集則是這種長方形的並集。…
庫拉托夫斯基閉包公理
庫拉托夫斯基閉包公理可來定義一個集上的拓扑結構，它和以開集作定義拓樸結構的公理等價。 定义 拓樸空間 (X,\operatorname{cl}) 是集合 X 及作用在 X 的冪集上的閉包算子 :\operatorname{cl}:\mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)。 閉包算子需符合以下條件： A \subseteq \operatorname{cl}(A) \! \operatorname{cl}(\op…
下限拓扑
數學上，下限拓撲是定義在實數集 \mathbb{R} 上的拓撲。其不同於 \mathbb{R} 上的標準拓撲（由開區間生成），且具有若干有趣的性質。其為全體半開區間 [a,b) 組成的基生成的拓撲，其中 a 和 b 取遍任意實數。 這樣得到的拓撲空間稱為Sorgenfrey直線（得名自 ）或箭頭，有時記為 \mathbb{R}_l. 與康托集和長直線類似，Sorgenfrey 直線也經常作為點集拓撲學中不少似是而非的命題的反例。 \ma…
可数生成空间
在数学中，若X 的拓扑由可数集决定，决定方式与收敛序列决定序列空间或Fréchet空间拓扑的方式相同，则称拓扑空间X 是可数生成的（countably generated）。 可数生成空间准确地说是具有可数胎紧性的空间，因此也可以形容为可数胎紧的。 定义 若无论何时对於X 中的每一可数子空间U 都有集合V \cap U是U 中的闭集，那么V 是X 中的闭集，则拓扑空间X 被称为可数生成的。同样地，X 是可数生成的当且仅当X 的任何子集A…
分离公理
在拓扑学及相关的数学领域裡，通常对于所讨论的拓扑空间加有各种各样的限制条件，分离公理即是指之中的某些限制條件。这些分离公理有时候被叫做吉洪诺夫分离公理，得名于安德烈·尼古拉耶维奇·吉洪諾夫。部分分離公理以字母T開頭，是由德文单词“Trennung”而來，意義是分离。 分離公理之所以稱為公理，是因為以前定義拓撲空間時，有些人會將其也做為公理來定義，而得出較現在意思狹義的拓撲空間。但在拓撲空間的公理化完成後，那些都成了「各種」的拓撲空間。然…
拓扑不可区分性
在拓扑学中，拓扑空间X內的两点若有完全相同的鄰域，便稱這兩個點為「拓扑不可区分的」。亦即，設x及y為X內的兩點，A為由所有包含x的鄰域所組成的集合，且B為由所有包含y的鄰域所組成的集合，則x及y為「拓撲不可區分的」若且唯若A = B。 直觀上來說，若X的拓撲無法分辨之中的兩點，即可稱這兩點為拓撲不可區分的。 若X內的兩點不是拓撲不可區分的，則稱這兩點為「拓撲可區分的」。这表示存在只包含两点之中的其中一點的开集（或等价地说，存在只包含两点…
邻域系
定义 X的映射\mathfrak{U}:X \to P(P(X))（P(P(X))指X的幂集的幂集）。这样\mathfrak{U}将X的每个点x映射至X的子集族\mathfrak{U}(x)。\mathfrak{U}(x)称为x的邻域系（或称邻域系统，\mathfrak{U}(x)的元素称为x的邻域），当且仅当对任意的x \in X，\mathfrak{U}(x)满足如下邻域公理： U1：若U\in\mathfrak{U}(x)，则x\…
无处稠密集
定义 拓扑空间(X,τ)，A⊆X，称A是无处稠密的（亦称稀疏的，或称A为无处稠密集、稀疏集），当且仅当A的闭包的内部是空集。 例子 例如，整数在实数轴R上就形成了一个无处稠密集。 注意运算的次序是很重要的。例如，有理数的集合，由于是R的子集，因此它的内部的闭包（注意不是“闭包的内部”）是空集，但不是无处稠密集；实际上，它在R上是稠密的，正好相反。 无处稠密与周围的空间也有关：有可能把一个集合考虑为X的子空间时就是无处稠密的，但考虑为Y的…