邻域系

定义
X的映射\mathfrak{U}:X \to P(P(X))（P(P(X))指X的幂集的幂集）。这样\mathfrak{U}将X的每个点x映射至X的子集族\mathfrak{U}(x)。\mathfrak{U}(x)称为x的邻域系（或称邻域系统，\mathfrak{U}(x)的元素称为x的邻域），当且仅当对任意的x \in X，\mathfrak{U}(x)满足如下邻域公理：

• U1：若U\in\mathfrak{U}(x)，则x\in U。
• U2：若U, V\in\mathfrak{U}(x)，则U \cap V \in \mathfrak{U}(x)。（邻域系对邻域的有限交封闭）。
• U3：若U\in\mathfrak{U}(x)，U\subseteq V\subseteq X，则V\in\mathfrak{U}(x)。
• U4：若U\in\mathfrak{U}(x)，则存在V\in\mathfrak{U}(x)，使V\subseteq U且对所有y\in V，有V\in\mathfrak{U}(y)。

从邻域出发定义其它拓扑空间的基础概念：

• 从邻域定义开集：X的子集O是开集，当且仅当对任意x\in O，有O \in \mathfrak{U}(x)。（O是其中每个点的邻域）。
• 从邻域定义开核：X的子集A的开核A^{\circ} = \{x | \exists U \in \mathfrak{U}(x), U \subseteq A \}。
• 从邻域定义闭包：X的子集A的闭包\overline{A} = \{x|\forall U\in \mathfrak{U}(x), U\cap A\ne\varnothing\}。

参照滤子的定义。给定点x，其邻域系\mathfrak{U}(x)恰构成了一个滤子，称为邻域滤子。

邻域基
点x的邻域基或局部基\mathcal{B}(x)，就是邻域滤子\mathfrak{U}(x)的滤子基。它是\mathfrak{U}(x)的子集，满足：每个x的邻域 U 都存在B \in \mathcal{B}(x)，使B \subseteq U。
:（\mathcal{B}(x) \subseteq \mathfrak{U}(x)，使\forall U \in \mathfrak{U}(x)，\exists B \in \mathcal{B}(x) : B \subseteq U）

反之，给出邻域基\mathcal{B}(x)，可以反推出相应的邻域滤子：\mathfrak{U}(x) =\{ U | \exists B \in \mathcal{B}(x), B \subseteq U \subseteq X\}。

例子
*一个点的邻域系也平凡的是这个点的邻域基。

若拓扑空间X是不可分拓扑，则任何点 x* 的邻域系是整个空间\mathcal{V}(x) = \{ X \}

在度量空间中，对于任何点 x，围绕 x 有半径 1/n 的开球序列形成可数邻域基 \mathcal{B}(x) = \{ B_{1/n}(x) ; n \in \mathbb N^ \}。这意味着所有度量空间都是第一可数的。

*在半赋范空间中，就是带有由半范数引发的拓扑的向量空间，所有邻域系统可以通过点 0 的邻域系统的平移来构造，
:\mathcal{V}(x) = \mathcal{V}(0) + x。
:这是因为向量加法在引发的拓扑中是分离连续的。所以这个拓扑确定自它的在原点的邻域系。更一般的说，只要拓扑是通过平移不变度量或伪度量定义的以上结论就是真的。

非空集合 A 的所有邻域系是叫做 A* 的邻域滤子的滤子。

拓扑空间 X 中所有点 x 的局部基的并集是 X* 的基。

参见
*邻域
*基 (拓扑学)
*局部凸拓扑向量空间
*滤子 (数学)

註釋