數學上，下限拓撲是定義在實數集 \mathbb{R} 上的拓撲。其不同於 \mathbb{R} 上的標準拓撲（由開區間生成），且具有若干有趣的性質。其為全體半開區間 [a,b) 組成的基生成的拓撲，其中 a 和 b 取遍任意實數。
這樣得到的拓撲空間稱為Sorgenfrey直線（得名自 ）或箭頭，有時記為 \mathbb{R}_l. 與康托集和長直線類似，Sorgenfrey 直線也經常作為點集拓撲學中不少似是而非的命題的反例。
\mathbb{R}_l 與自身的積也是有用的反例，稱為Sorgenfrey平面。
類似地，可以定義 \mathbb{R} 上的上限拓撲，其性質與下限拓撲完全相同。
性質
- 下限拓撲比實數集的標準拓撲更精細（具有更多開集）。原因是每個開區間都可寫成半開區間的可數並，故在下限拓撲中也是開集。
- 對任意實數 a 和 b, 區間 [a,b) 都是 \mathbb{R}_l 的闭开集（既是开集，也是闭集）。而且，對任意實數 a, 集合 \{x\in\mathbb{R} : x 和 \{x \in\mathbb{R} : x \geq a\} 皆為閉開集。故 \mathbb{R}_l 為完全不连通空间。
- \mathbb{R}_l 的緊子集只能是可數集（允許是有限集）。要證明此結論，考慮非空緊集 C\subseteq\mathbb{R}_l. 取定 x \in C, 考慮 C 的開覆蓋：
:: \bigl\{ [x, +\infty) \bigr\} \cup \Bigl\{ \bigl(-\infty, x - \tfrac{1}{n} \bigr) \,\Big|\, n \in \mathbb{N} \Bigr\}.
:由於 C 為緊，此開覆蓋具有有限子覆蓋，故存在實數 a(x) 使得區間 (a(x), x] 不含 C 除 x 以外的點。這對任意 x\in C 為真。現選取有理數 q(x) \in (a(x), x]\cap\mathbb{Q}. 對不同的 x\in C, 區間 (a(x), x] 兩兩不交，故函數 q: C \to \mathbb{Q} 為單射，故 C 至多可數。
- 「下限拓撲」得名自以下性質：\mathbb{R}_l 中的序列（或網）(x_\alpha) 收斂到 L 当且仅当其「從右接近 L」，即對任意的 \epsilon>0 ，均存在下標 \alpha_0 使得 \forall\alpha \geq \alpha_0 : L \leq x_\alpha . \mathbb{R}_l 因此可用於研究單側極限：對函數 f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f 於 x 之右極限（假定陪域具有標準拓撲），等於定義域在下限拓撲下 f 於 x 之一般極限。
- 就分离公理而言， \mathbb{R}_l 是完美正规豪斯多夫空間（T6 空間）。
- 就可數性公理而言， \mathbb{R}_l 是第一可數空間和可分空间，但並非第二可數空間。
- 就緊緻性而言，\mathbb{R}_l 是林德勒夫空間和仿紧空间，但並非，也不是局部紧空間。
- \mathbb{R}_l 不可度量化，因為可分的度量空間必為第二可數。然而，\mathbb{R}_l 的拓撲是由一個預度量給出。
- \mathbb{R}_l 是一個贝尔空间 。
參考資料
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