在集合论中，邻域（）指以点a为中心的任何开区间，记作：U(a)。

在拓扑学和相关的数学领域中，邻域是拓扑空间中的基本概念。直觉上说，一个点的邻域是包含这个点的集合，並且該性質是外延的：你可以稍微“抖动”一下这个点而不离开这个集合。

定义
在集合论中，有以下几种邻域：
:\delta邻域：U(a,\delta)=(a-\delta,a+\delta)=\left\{x \mid |x-a|
:去心邻域：U_{0}(a,\delta)=\left\{x \mid 0
:左邻域：(a-\delta,a)
:右邻域：(a,a+\delta)

在拓扑学中，拓扑空间X，A，B\subseteq X，称B是A的邻域，当且仅当以下条件之一成立：

• 存在开集C，使得A\subseteq C\subseteq B。
• A\subseteq B^O 。（B^O是B的内部）

;开邻域，闭邻域
:若B是开集，则B称为A的开邻域；若B是闭集，则B称为A的闭邻域。
;邻域系统
:设x\in X，则\{ x \}所有邻域的集合U(x)，称为x（或\{ x \}）的邻域系。

注意：某些作者要求邻域是开集，所以在阅读文献时注意约定是很重要的。

如果S是X的子集，S的邻域是集合V，它包含了包含S的开集U。可得出集合V是S的邻域，当且仅当它是在S中的所有点的邻域。

鄰域的度量空间定義
在度量空间M=(X,d)中，集合V是点p的邻域，如果存在以p为中心和半径为r的开球，
:B_r(p) = B(p;r) = \{ x \in X \mid d(x,p)
它被包含在V中。

一致邻域
V叫做集合S的一致邻域（uniform neighborhood），如果存在正数r使得对于S的所有元素p，
:B_r(p) = \{ x \in X \mid d(x,p)
被包含在V中。

对于r>0集合S的r-邻域S_r是X中与S的距离小于r的所有点的集合（或等价的说S_r是以S中一个点为中心半径为r的所有开球的并集）。

可直接得出r-邻域是一致邻域，并且一个集合是一致邻域当且仅当它包含对某个r值的r-邻域。

參見一致空間。

非一致邻域的例子
给定实数集\R带有平常的欧几里得度量和如下定义的子集V
:V:=\bigcup_{n \in \mathbb{N}} B\left(n\,;\,\frac{1}{n}\right)，
则V是自然数集合N的邻域，但它不是这个集合的均匀邻域，因為r=\frac{1}{n}並不是一個固定值。

去心邻域
点 p 的去心邻域（ 或 ）是点 p 的邻域中减去 \{p\} 后得到的差集。例如，区间 (-1, 1) = \{y: -1 是 p = 0 在实数轴上的邻域，因此集合 (-1, 0)\cup(0, 1) = (-1, 1) \setminus \{0\} 是 p = 0 的一个去心邻域。需注意的是，给定点的去心邻域实际上不是该点的邻域。在讨论函数极限时，会用到去心邻域的概念。

基于邻域的拓扑
上述定义適用於开集的概念早已定义的情況。有另一种方式来定义拓扑，也就是先定义邻域系统，再定义开集：若集中每个点皆有一個邻域被包含於集中，則為開集。

在X上的邻域系统是滤子N(x)（在集合X上）到每个X中的x的指派，使得

点x是每个N(x)中的U的元素，

每个N(x)中的U包含某个N(x)中的V使得对于每个V中的y有着U在N(y)中。

可以证明这两个定义是兼容的，就是说从使用开集定义的邻域系统获得的拓扑就是最初的拓扑，反之从邻域系统出发亦然。

引用
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参见
*局部基
*第一可数空间
*管状邻域