开集 · 茶年 · 中文维基百科

在數學上，特別是拓樸學中，開集是對實數開區間進行推廣之後得到的抽象集合。

通常微積分的課程中，會借助歐式空間的距離去描述數列極限；直觀上，當 n 越來越大時，數列 x_n 跟 a 極其靠近，則稱 a 是數列 x_n 的極限，但這需要距離去嚴謹的描述「靠近程度」，開集就是來自於「 a 點附近」這樣的直觀概念。類似的，函數極限也需要距離的概念去嚴謹定義。

定義
直觀上，於「開集」或說「不含邊界的集合」中任取一點，都可以找到一個以此點為圓心，且半徑足夠小到落在「開集」裡的圓盤（但圓盤的邊界可能不在開集內）。開集的嚴謹定義由此而來。

歐式空間
所謂的n維歐式空間，指的是囊括所有实数n-元組(r_1,\,\dots,\,r_n)的集合（記為\R^n）。為了定義開集，可以推廣勾股定理，將 \R^n 中任兩點x = (x_1,\,\dots,\,x_n) 與 y = (y_1,\,\dots,\,y_n) 的歐式距離定義為：

: d_n(x,\,y)=\sqrt{
\sum^n_{i=1} {(x_i-y_i)}^2
}

然後定義所謂的（n維）開球（open ball）：

: B(a,\,r)
:=
\bigg\{
p \in \R ^n \,\bigg|\,
d_n(a,\,p)

也就是直觀上，一個以a為球心，r為半徑但不包含表面的球體。

這樣就可以作如下的定義：

也就是直觀上，取開集 O 的任意點 x 都有一個以 x 為球心的開球完全包含於 O 。

賦距空间
只要把上節的歐式距離改成一般的度量，開集的概念很容易推廣到賦距空间(M,d)中。

以下把(M,d) 中的開球（open ball）定義成：

: B(a,\,\delta)
:=
\bigg\{
p \in M \,\bigg|\,
d(a,\,p)

這樣就可以作如下的定義：

這的確推廣了歐式空間部分的定義，因為歐式距離 d_n 和\R^n本身就組成了一個賦距空間(\R^n,d_n)。

賦距空間的開集還會有以下的性質：

{{Math theorem
| math_statement =

若 (M,d) 為賦距空間，則

(1) \varnothing 和 M 也是 M 的開集。

(2) 若 A 和 B 都是 M 的開集，則 A \cap B 也是 M 的開集。

(3) \mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(M) （ \mathcal{F} 是 M 的一個子集族），若所有 O \in \mathcal{F} 都是 M 的開集，則 \bigcup \mathcal{F} 也是 M 的開集。（也就是直觀上，任意數量開集的聯集也是開集）
}}

事實上這些性質這就是拓扑空间定義的動機。
拓撲空間
開集是拓扑空间定義的基石；也就是從任意母集合 X 出發，再選取 X 的特定的子集族 \tau ，規定 \tau 中的集合就是開集，这樣的子集族 \tau 被叫做 X 上的拓扑：

{{Math theorem
| name = 定義
| math_statement =

X 為集合，若 \tau \subseteq \mathcal{P}(X) 滿足

(1) \varnothing,\, X \in \tau

(2) 若 A, B \in \tau 則 A \cap B \in \tau。

(3) \mathcal{F} \subseteq \tau ，則 \bigcup_{F\in\mathcal{F}} F \in \tau 。（也就是說，任意數量開集的聯集也是開集）

則稱 \tau 為 X 上的拓撲，並稱 (X,\,\tau) 為一拓撲空間。任何 O \in \tau 被稱為開集。
}}

根據上一節賦距空間的性質，取 \tau_d 為所有 M 的開集所構成的子集族，則 (M,\,\tau_d) 也是一拓撲空間。

例子

度量空间(X,d)中，以点x\in X为中心，\varepsilon为半径的球体B(x,\varepsilon)为开集，任意的开集A包含以x\in A为中心，充分小的\varepsilon为半径的球体B(x,\varepsilon)。
流形中的开集为子流形。

用处
开集在拓扑学分支中有著基础的重要性。當定义拓扑空间和其他拓扑结构（处理邻近性与收敛此類概念，比如度量空间和一致空间）時，都會用到开集的概念。

拓扑空间X的每個子集A都包含至少一个（可能为空）开集；最大的这种开集被叫做A的内部。它可以通过取包含在A中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间X和Y以及函数f:X \rightarrow Y，如果在Y中的所有开集的前像是在X中的开集，則f是连续的，這是實函數上的連續定義的推廣，X=Y=\R時這與實函數的連續定義等價。如果在X中的所有开集的像是Y中的开集，映射f被叫做开映射。

实直线上的开集都是可数個不相交开区间的并集。

开集

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