伊藤引理

在随机分析中，伊藤引理（Ito's lemma）是一条非常重要的性质。發現者為日本數學家伊藤清，他指出了对于一个随机过程的函数作微分的规则。

伊藤引理较早版本
第一引理
对于布朗运动 W_t 和二次可导函数f(x)，以下等式成立：
:df(W_t) = f'(W_t)dW_t + \frac{1}{2} f*(W_t)dt

其中過程：
:dtdt = 0 , dtdW_t = dW_tdt = 0 , dW_tdW_t = dt

其主要可通过对多项式环到形式幂级数的拓展，例如：
:de^{W_t^2}= 2W_t e^{W_t^2} dW_t + (e^{W_t^2} + 2W_t^2 e^{W_t^2} )dt

第二引理
对于伊藤过程 X_t 和二次可导函数f(t,x)，以下等式成立
:df(t,X_t) = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right)dt + \frac{\partial f}{\partial x} dX_t

第三引理
定义伊藤过程 X_t 为满足下列随机微分方程的随机过程
: dX_t= \mu_t \, dt + \sigma_t \, dW_t
对于伊藤过程 X_t 和二次可导函数f(t,x)，以下等式成立：
:df(t,X_t) =\left(\frac{\partial f}{\partial t} + \mu_t\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2}\sigma_t^2\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\right)dt + \sigma_t\frac{\partial f}{\partial x} \,dW_t.

类似地，定义多维伊藤过程\mathbf{X}_t = (X^1_t, X^2_t, \ldots, X^n_t)^T使得
:d\mathbf{X}_t = \boldsymbol{\mu}_t\, dt + \mathbf{G}_t\, d\mathbf{B}_t
其中\boldsymbol{\mu}_t为n维向量，\mathbf{G}_t为n阶方块矩阵；有如下等式：
:\begin{align}
df(t,\mathbf{X}_t) &= \frac{\partial f}{\partial t}\, dt + \left (\nabla_\mathbf{X} f \right )^T\, d\mathbf{X}_t + \frac{1}{2} \left(d\mathbf{X}_t \right )^T \left( H_\mathbf{X} f \right) \, d\mathbf{X}_t, \\
&= \left\{ \frac{\partial f}{\partial t} + \left (\nabla_\mathbf{X} f \right)^T \boldsymbol{\mu}_t + \frac{1}{2}\operatorname{Tr}\left[ \mathbf{G}_t^T \left( H_\mathbf{X} f \right) \mathbf{G}_t \right] \right\} dt + \left (\nabla_\mathbf{X} f \right)^T \mathbf{G}_t\, d\mathbf{B}_t
\end{align}
其中，\nabla_\mathbf{X} f是关于的梯度， 是关于的黑塞矩陣，是跡的符号。

到半鞅的拓展
连续半鞅
:df(X_t) = \sum_{i=1}^d f_{i}(X_t)\,dX^i_t + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^df_{i,j}(X_t)\,d[X^i,X^j]_t.

不连续半鞅
:
\begin{align}
f(X_t)= & f(X_0)+\sum_{i=1}^d\int_0^t f_{i}(X_{s-})\,dX^i_s + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^d \int_0^t f_{i,j}(X_{s-})\,d[X^i,X^j]_s\\
&{} + \sum_{s\le t}\left(\Delta f(X_s)-\sum_{i=1}^df_{i}(X_{s-})\,\Delta X^i_s-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^d f_{i,j}(X_{s-})\,\Delta X^i_s \, \Delta X^j_s\right).
\end{align}

泊松过程
我们也可以定义非连续随机过程的函数。

定义跳跃强度h，根据跳跃的泊松过程模型，在区间[t,\ t + \Delta t]上出现一次跳跃的概率是h \Delta t 加上 \Delta t的高阶无穷小量。h可以是常数、显含时间的确定性函数，或者是随机过程。在区间[0,t]上没有跳跃的概率称为生存概率p_s(t)，其变化是：
:d p_s(t) = -p_s(t) h(t) \, dt.
因此生存概率为：
:p_s(t) = \exp \left(-\int_0^t h(u) \, du \right).

定义非连续随机过程S(t)，并把S(t^-)记为从左侧到达t时S的值，记d_j S(t)是一次跳跃导致S(t)的非无穷小变化。有：
:d_j S(t)=\lim_{\Delta t \to 0}(S(t+\Delta t)-S(t^-))

\eta(S(t^-),z)是跳跃幅度z的概率分布，跳跃幅度的期望值是：
:E[d_j S(t)]=h(S(t^-)) \, dt \int_z z \eta(S(t^-),z) \, dz.

定义补偿过程和鞅d J_S(t)：
:d J_S(t)=d_j S(t)-E[d_j S(t)]=S(t)-S(t^-)-(h(S(t^-)) \int_z z \eta(S(t^-),z) \, dz) \, dt.
因此跳跃的非无穷小变化，也就是随机过程的跳跃部分可以写为：
:d_j S(t) = E[d_j S(t)] + d J_S(t) = h(S(t^-)) (\int_z z \eta(S(t^-),z) \, dz) dt + d J_S(t).

因此如果随机过程S同时包含漂移、扩散、跳跃三部分，可以写为：
:d S(t) = \mu dt + \sigma dW(t) + d_j S(t).

考虑其函数g(S(t),t)。S(t)跳跃\Delta s的幅度，会导致g(t)跳跃\Delta g幅度。\Delta g取决于g的跳跃分布\eta_g()，有可能依赖于跳跃前的函数值g(t^-)，函数微分dg以及跳跃前的自变量值S(t^-)。g的跳跃部分是：
:
\begin{align}
g(t)-g(t^-) & =h(t) \, dt \int_{\Delta g} \, \Delta g \eta_g(\cdot) \, d\Delta g + d J_g(t).
\end{align}

函数g(S(t),t)的伊藤引理是：
:
\begin{align}
d g(t) & = \left( \frac{\partial g}{\partial t}+\mu \frac{\partial g}{\partial S}+\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 g}{\partial S^2}+h(t)\int_{\Delta g} (\Delta g \eta_g(\cdot) \, d{\Delta}g) \, \right) dt + \frac{\partial g}{\partial S} \sigma \, d W(t) + d J_g(t).
\end{align}

可以看到，漂移-扩散过程与跳跃过程之和的伊藤引理，恰恰是各自部分伊藤引理的和。

应用例子
布莱克-舒尔兹模型
伊藤引理可以用于推导布莱克-舒尔兹模型。假设一支股票的价格服从几何布朗运动dS=\mu Sdt +\sigma SdW，且其期权的价格是股票价格和时间的函数V=f(t,S)。根据伊藤引理，有
:df = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \mu S\frac{\partial f}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\right)\,dt +\sigma S\frac{\partial f}{\partial S}\,dW
整理可得
:df = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\right)\,dt +\frac{\partial f}{\partial S}\,dS
式中\frac{\partial f}{\partial S}\,dS项表明期权价格的波动等于持有\frac{\partial f}{\partial S}单位股票时的波动。在这个对应下，现金的部分应该以无风险利率r增长，即
: df = r\left(f-S\frac{\partial f}{\partial S}\right)\,dt + \frac{\partial f}{\partial S}\,dS
比较两式dt项的系数，可得
:\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2} + rS\frac{\partial f}{\partial S}-rf = 0

参看

• 费曼－卡茨公式

參考資料

• Ito, K. (1944): Stochastic integral. Proc. Imp. Acad. Tokyo 20, 519-524.
• PROTTER, P. (1990): Stochastic Integration and Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin.
• Black, F. & Scholes, M. (1973) :The pricing of options and corporate liabilities. J. Polit. Economy