伯恩赛德引理

伯恩赛德引理（），也叫伯恩赛德计数定理（），柯西-弗罗贝尼乌斯引理（）或轨道计数定理（），是群论中一个结果，在考虑对称的计数中经常很有用。该结论被冠以多个人的名字，其中包括、波利亚、柯西和弗罗贝尼乌斯。这个命题不属于伯恩赛德自己，他只是在自己的书中《有限群论 On the Theory of Groups of Finite Order》引用了，而将其归于。

下文中，设 G 是一个有限群，作用在集合 X 上。对每个属于 G 的 g ，令 X^g 表示 X 中在 g 作用下的不动元素。伯恩赛德引理断言轨道数（记作 |X/G|）由如下公式给出：

:|X/G| = \frac{1}\sum_{g \in G}|X^g|.\,

从而轨道数（是一个自然数或无穷）等于被 G 中一个元素保持不动的点个数的平均值（故同样是自然数或无穷）。

应用举例
環狀排列
使用兩種顏色對三個珠子染色，共有2^3=8種染色方法，而只有四種旋轉後不重合的染色方法，用二元數列表示為000,001,011,111。旋轉對稱將染色方法的集合X分為四個軌道：X = \{000\} \cup \{001,010,100\} \cup \{011,101,110\} \cup \{111\}。考慮三種可能的旋轉：「空旋轉」，順時針轉一個單位，順時針轉兩個單位；它們對應的不動點數目分別為8，2，2，因此軌道數為 \frac{1}{3}(8+2+2)=4 。對於長度為4的環狀排列，共有16種染色方法，4個旋轉；0個單位的旋轉有16個不動點，1個單位和3個單位的旋轉有不動點0000,1111；2個單位的旋轉有不動點0000,0101,1010,1111。因此軌道數為 \frac{1}{4}(16+2+4+2) = 6 。具體地，0000,0001,0011,0101,0111,1111為六種旋轉後不重合的染色方法。

立方體染色
使用三種顏色對立方體的六個面染色，將旋轉后相同的視為一種染色，染色方式總數可以由上述公式確定。

選取一個定向，設X是這個定向立方體所有3^6種可能面染色組合，立方體的旋轉群G顯然是作用在X上的群。且若X的兩個元素（染色組合）屬于同一軌道，則其中一個染色可以通過旋轉變成另一個染色，因而考慮旋轉對稱後不同的染色數就是X關於G的軌道数，可以通過數G的24個元素的不動集合的大小求出來。

• 一個恒同元素保持 X 的所有 36 個元素不變。
• 六個 90 度面旋轉，每一個保持 X 的 33 個元素不變。
• 三個 180 度面旋轉，每一個保持 X 的 34 個元素不變。
• 八個 120 度頂點旋轉，每一個保持 X 的 32 個元素不變。
• 六個 180 度邊旋轉，每一個保持 X 的 33 個元素不變。

這些自同構的詳細檢驗可參見。

這樣，平均不動集合的大小是

: \frac{1}{24}(3^6+6\times 3^3 + 3 \times 3^4 + 8 \times 3^2 + 6 \times 3^3 ) = 57.\,

從而有 57 種旋轉不同的立方體面 3 色染色方式。一般地，使用 n 種顏色，立方體不同的旋轉面染色數是

: \frac{1}{24}(n^6+3n^4 + 12n^3 + 8n^2).\,

证明
定理的證明利用軌道-中心化子定理以及 X 是軌道的不交并的事實：
:\sum_{g \in G}|X^g| = |\{(g,x)\in G\times X \mid g\cdot x = x\}| = \sum_{x \in X} |G_x|
:= \sum_{x \in X} \frac = |G| \sum_{x \in X}\frac{1} = |G|\sum_{A\in X/G}\sum_{x\in A} \frac{1}
:= |G| \sum_{A\in X/G} 1 = |G| \cdot |X/G|.

历史：该引理不属于伯恩赛德
威廉·伯恩賽德在他1897年關于有限群的書中陳述并證明了這個引理，將其歸于。不過在弗羅貝尼烏斯以前，這個公式在1845年已經為柯西所知。事實上，這個引理明顯如此有名，伯恩賽德不過忽略了將其歸于柯西。因此，這個引理有時候也稱為不是伯恩賽德的引理
。這可能看起來不那么有歧義，伯恩賽德對這個領域貢獻了許多引理。

注释
另见

• 波利亞計數定理

参考文献

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