亨泽尔引理（）是数学中模算术的一個结论。亨泽尔引理说明，如果一个模（是给定的质数）的多项式方程有一个单根，则可以通过这个根求出该方程在模的更高次方时的根。在完备交换环（包括p进数）中，亨泽尔引理被看作是类似于牛顿法的渐进求根方法。由于p进数分析在某些方面比实分析更加简单，亨泽尔引理可以加强为多项式方程有根的判定方法。
定理内容
設f(x)為整係數多項式，k為不少於2的整數，p為質數。若整數r是下面同餘式的根：
: f(r) \equiv 0 \pmod{p^{k-1}}.
對於
: f(r+tp^{k-1}) \equiv 0 \pmod{p^k} （I）
，則有：
- 若f'(r) \not\equiv 0 \pmod{p}，則存在唯一的整數0\le t \le p-1使得（I）成立。
: t f'(r) \equiv -( f(r) /p^{k-1} ) \pmod{p} .\,
- 若f'(r) \equiv 0 \pmod{p} 且 f(r) \equiv 0 \pmod{p^k} ，則（I）對任意整數t成立。
- 若f'(r) \equiv 0 \pmod{p} 但 f(r) \not\equiv 0 \pmod{p^k} ，則（I）無整數解。
證明
亨澤爾引理可用泰勒公式證明。
: f(r+tp^{k-1}) = f(r) + t p^{k-1} f'(r) + \frac{1}{2} t^2 p^{2(k-1)} f(r) + \frac{1}{6} t^3 p^{3(k-1)} f*(r) + ...
因此可見，由第三項開始，都必能被p^k整除。因此：
: f(r+tp^{k-1}) \equiv f(r) + t p^{k-1} f'(r) \pmod{p^k}
推廣
若K為完備局域。設 \mathcal{O}_K為K的整數環，設f(x)為係數在 \mathcal{O}_K 的多項式，若存在 \alpha_0 \in \mathcal{O}_K使得
: |f(\alpha_0)|
則f(x)有根 \alpha \in K。
且：
\alpha_{i+1} = \alpha_i - \frac{ f(\alpha_i) }{f'(\alpha_i) } 趨近 \alpha
| \alpha - \alpha_0 | \le | \frac{ f(\alpha_i) }{f'(\alpha_i) } |
這個引理其中一個重要應用就是在域為p進數的情形。
參考
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