最小作用量原理
在物理學裡， 作用量原理（），或更精確地，平穩作用量原理（），是一種變分原理，當應用於一個機械系統的作用量時，可以得到此機械系統的運動方程式。這原理的研究引導出經典力學的拉格朗日表述和哈密頓表述的發展。卡爾·雅可比特稱最小作用量原理為分析力學之母。 在現代物理學裏，這原理非常重要，在相對論、量子力學、量子場論裏，都有廣泛的用途。在現代數學裏，這原理是莫爾斯理論的研究焦點。本篇文章主要是在闡述最小作用量原理的歷史發展。關於數學描述、推導和…
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哈密頓原理
在物理學裏，哈密頓原理（）是愛爾蘭物理學家威廉·哈密頓於1833年發表的關於平穩作用量原理的表述。哈密頓原理闡明，一個物理系統的拉格朗日函數，所構成的泛函的變分問題解答，可以表達這物理系統的動力行為。拉格朗日函數又稱為拉格朗日量，包含了這物理系統所有的物理內涵。這泛函稱為作用量。哈密頓原理提供了一種新的方法來表述物理系統的運動。不同於牛頓運動定律的微分方程式方法，這方法以積分方程式來設定系統的作用量，在作用量平穩的要求下，使用變分法來計…
變分法基本引理
在數學裏，特別是在變分法裏，變分法基本引理（）是一種專門用來變換問題表述的引理，可以將問題從弱版表述（）（變分形式）改變為強版表述（微分形式）。 敘述 C^k 代表k阶导数连续（k阶光滑）的函数空间， C^\infty 代表无限光滑的函数空间。 變分法基本引理： 設 f(x)\in C^\infty [a,\ b]\,\! 若任意 h(x)\in C^\infty [a,\ b]\,\! 滿足 h(a)=h(b)=0\,\! 成立 : …
作用量
在物理學裏，作用量（英语：action）是一個很特別、很抽象的物理量。它表示著一個動力物理系統內在的演化趨向。雖然與微分方程式方法大不相同，作用量也可以被用來分析物理系統的運動，所得到的答案是相同的。只需要設定系統在兩個點的狀態，初始狀態與最終狀態，然後，經過求解作用量的平穩值，就可以得到系統在兩個點之間每個點的狀態。 歷史 皮埃爾·德·費馬於1662年發表了費馬原理。這原理闡明：光傳播的正確路徑，所需的時間必定是極值。這原理在物理學界…
貝爾特拉米等式
貝爾特拉米等式是變分法中的一等式，由貝爾特拉於1868年發現。它所表達的是，若函數u是以下積分的極值 :I(u)=\int_a^b L(x,u,u') \, dx 則符合以下微分方程： : \frac{d}{dx}\left(L-u'\frac{\partial L}{\partial u'}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0. 若L是力學系統中的拉格朗日量，且L並非x的顯函數，即拉格朗日量並…