在數學裏，特別是在變分法裏，變分法基本引理（）是一種專門用來變換問題表述的引理，可以將問題從弱版表述（）（變分形式）改變為強版表述（微分形式）。
敘述
C^k 代表k阶导数连续（k阶光滑）的函数空间， C^\infty 代表无限光滑的函数空间。
變分法基本引理：
設 f(x)\in C^\infty [a,\ b]\,\!
若任意 h(x)\in C^\infty [a,\ b]\,\! 滿足 h(a)=h(b)=0\,\! 成立
: \int_a^b f(x) \, h(x) \, dx = 0 \,\!
則 \mbox{∀}x\in(a,\ b):f(x) = 0\,\!。
證明
設 f(x)\in C^\infty [a,\ b]\,\! 且 f(x)\neq 0\,\! ，
因為只要存在一個不滿足 \int_a^b f(x) \, h(x) \, dx = 0 \,\! 的 h(x) ，就可以證明 f(x)=0\,\! ，因此我們只須證明其中一個特例。
令 r(x)\,\! 滿足下列兩個條件：
r(a)=r(b)=0\,\! ；
\mbox{∀}x\in(a,\ b) :r(x)>0\,\! ；
並且令 h(x) = r(x) f(x)\,\!。
由 h(x) = r(x) f(x)\,\! 可得到
:0 = \int_a^b f(x) h(x) \; dx = \int_a^b r(x) f(x)^2 \; dx\,\! 。
因為 r(x)\,\! 在 (a,\ b)\,\! 是正值，所以f(x)\,\! 必須恆等於 0 ，與假設 f(x)\neq 0\,\! 矛盾。
故 \mbox{∀}x\in(a,\ b):f(x) = 0\,\! 。
應用
這引理可用來證明泛函
: J[f(t,y,\dot y)] = \int_{x_0}^{x_1} f(t,y,\dot y) \, dt \,\!
的極值是歐拉-拉格朗日方程式
: {d \over dt} \left({\partial f(t,y,\dot y) \over \partial \dot y}\right) - {\partial f(t,y,\dot y) \over \partial y} = 0\,\!
的弱解。
歐拉-拉格朗日方程式在經典力學和微分幾何佔有重要的角色。
參閱
*拉格朗日力學
*哈密頓原理
*泛函分析
參考文獻
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