在物理學裏，哈密頓原理（）是愛爾蘭物理學家威廉·哈密頓於1833年發表的關於平穩作用量原理的表述。哈密頓原理闡明，一個物理系統的拉格朗日函數，所構成的泛函的變分問題解答，可以表達這物理系統的動力行為。拉格朗日函數又稱為拉格朗日量，包含了這物理系統所有的物理內涵。這泛函稱為作用量。哈密頓原理提供了一種新的方法來表述物理系統的運動。不同於牛頓運動定律的微分方程式方法，這方法以積分方程式來設定系統的作用量，在作用量平穩的要求下，使用變分法來計算整個系統的運動方程式。
雖然哈密頓原理本來是用來表述經典力學，這原理也可以應用於經典場，像電磁場或重力場，甚至可以延伸至量子場論等等。
概念
微分方程式時常被用來表述物理定律。微分方程式指定出，隨著極小的時間、位置、或其他變數的變化，一個物理變數如何改變。總合這些極小的改變，又加上已知這變數在某一點的數值或導數值，就能求得物理變數在任何點的數值。
哈密頓原理用積分方程式來表述物理系統的運動。我們只需要設定系統在兩個點的狀態，叫做最初狀態與最終狀態。然後，經過求解系統作用量的平穩值，我們可以得到系統在，兩個點之間，其他點的狀態。不但是關於經典力學中的一個單獨粒子，而且也關於經典場像電磁場與萬有引力場，這表述都是正確的。更值得一提的是，現今，哈密頓原理已經延伸至量子力學與量子場論了。
用變分法數學語言來表述，求解一個物理系統作用量的平穩值（通常是最小值），可以得到這系統隨時間的演變（就是說，系統怎樣從一個狀態演變到另外一個狀態）。更廣義地，系統的正確演變對於任何微擾必須是平穩的。這要求導致出描述正確演變的微分方程式。
定義
哈密頓原理闡明，一個物理系統的拉格朗日函數L\,所構成的作用量泛函\mathcal{S}\,，其平穩值是這物理系統的真實演化。
以數學方程式表示，定義作用量為
:\mathcal{S}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\,dt\,；
其中，L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\,是系統的拉格朗日函數，廣義坐標\mathbf{q} = \left( q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N} \right)\,是時間t\,的函數，t_{1}\,和t_{2}\,分別為初始時間和終結時間。
假若，作用量的一次變分\delta \mathcal{S}=0\,，作用量\mathcal{S}\,為平穩值，則\mathbf{q}(t)\,正確地描述這系統的真實演化。
拉格朗日方程式導引
從哈密頓原理可以推導出拉格朗日方程式。假設\mathbf{q}(t)\,是系統的正確運動，微擾函數\boldsymbol\varepsilon (t)\,為一個虛位移\delta\mathbf{q}\,，虛位移在軌道的兩個端點的值是零：
:\boldsymbol\varepsilon(t_{1})=\boldsymbol\varepsilon(t_{2})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ 0\,。
取至\boldsymbol\varepsilon (t)\,的一階微擾，作用量泛函的一次變分為
:\delta \mathcal{S} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\;
\left[ L(\mathbf{q}+\boldsymbol\varepsilon,\dot\mathbf{q} +\dot\boldsymbol\varepsilon,t) - L(\mathbf{q},\dot\mathbf{q},t)\right]dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \left(
\boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} +
\dot\boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt
\,。
這裏，我們將拉格朗日量L\,展開至\boldsymbol\varepsilon (t)\,的一階微擾。
應用分部積分法於最右邊項目：
:\delta \mathcal{S} =
\left[ \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}} + \int_{t_{1}}^{t_{2}}\;
\left( \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}}
- \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt。
邊界條件\boldsymbol\varepsilon(t_{1}) = \boldsymbol\varepsilon(t_{2}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ 0\,使第一個項目歸零：
:\delta \mathcal{S} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \boldsymbol\varepsilon \cdot
\left(\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt\,。
作用量泛函\mathcal{S}\,平穩的要求意味著，對於正確運動的任意微擾\boldsymbol\varepsilon (t)\,，一次變分\delta \mathcal{S}\,必須等於零：
:\delta \mathcal{S} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \boldsymbol\varepsilon \cdot
\left(\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt=0\,。
特別注意，我們沒有對廣義坐標\mathbf{q}\,做任何要求。在這裏，我們要求所有的廣義坐標都互不相依；也就是說，這系統是完整系統。這樣，我們可以應用變分法基本引理而得到拉格朗日方程式：
: \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} -
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} = \mathbf{0}\,。
在各個物理學領域，拉格朗日方程式都被認為是非常重要的方程式，能夠用來精確地理論分析許多物理系統。
參閱
- 變分法
- 拉格朗日力學
- 哈密頓力學
- 諾特定理
- 作用量
參考文獻
- W.R. Hamilton, "On a General Method in Dynamics.", Philosophical Transaction of the Royal Society [http://www.emis.de/classics/Hamilton/GenMeth.pdf Part I (1834) p.247-308]; [http://www.emis.de/classics/Hamilton/SecEssay.pdf Part II (1835) p. 95-144].（From the collection [http://www.emis.de/classics/Hamilton/ Sir William Rowan Hamilton (1805-1865）: Mathematical Papers] edited by David R. Wilkins, School of Mathematics, Trinity College, Dublin 2, Ireland.（2000）; also reviewed as [http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Dynamics/ On a General Method in Dynamics])
Herbert Goldstein (1980) Classical Mechanics*, 2nd ed., Addison Wesley, pp. 35–69.
*列夫·朗道and E. M. Lifshitz, Mechanics, Course of Theoretical Physics（Butterworth-Heinenann, 1976）, 3rd ed., Vol. 1. ISBN 0-7506-2896-0.
- Arnold VI.（1989）Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed., Springer Verlag, pp. 59–61.
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