貝爾特拉米等式是變分法中的一等式，由貝爾特拉於1868年發現。它所表達的是，若函數u是以下積分的極值
:I(u)=\int_a^b L(x,u,u') \, dx
則符合以下微分方程：
:
\frac{d}{dx}\left(L-u'\frac{\partial L}{\partial u'}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0.
若L是力學系統中的拉格朗日量，且L並非x的顯函數，即拉格朗日量並非時間的顯函數，那麼，貝爾特拉米等式表明其哈密頓量是一守恆能量。
証明
定義共軛動量p為L的偏微分
:: p = {\partial L \over \partial u'}
則歐拉-拉格朗日方程給出
:: {dp\over dx} - {\partial L \over \partial u} = 0
即
:: p' = {\partial L \over \partial u}
再定義哈密頓量H為L之勒壤得轉換：
:: H = p u' - L \,
則
:: H' = {dH \over dx} = p' u' + p u - {\partial L \over \partial u'} u - {\partial L \over \partial u} u' - {\partial L \over \partial x}
其中第二及第三項相抵，根據p之定義及歐拉-拉格朗日方程，第一及第四項亦相抵，所以給出貝爾特拉米等式：
:: H' = - {\partial L \over \partial x}
此亦是諾特定理的特例。
應用
若L獨立於x，則貝爾特拉米等式說明H為一常數：
:: - H' = \frac{d}{dx}\left(L-u'\frac{\partial L}{\partial u'}\right) = 0
此可用作求歐拉-拉格朗日方程的解，如同用能量守恆律解牛頓力學一樣。H為常數給出u的一階導數方程，而歐拉-拉格朗日方程則為u的二階導數方程。
例如最速降線問題，求最小化以下積分之曲線：
:: \int_0^1 {\sqrt{1+y'^2} \over \sqrt{y}} dx
其中，將積分最小化的函數L與時間無關，
:: L(y,y') = {\sqrt{1+y'^2} \over \sqrt{y}}
故此相關之哈密頓量為常數：
:: H = p y' - L = {y'^2 \over \sqrt{1+y'^2} \sqrt{y}} - {\sqrt{1+y'^2}\over \sqrt{y}} = {-1 \over \sqrt{1+y'^2}\sqrt{y}}
:: \sqrt{1+y'^2}\sqrt{y} = \text{constant}
所以前述方程轉化為擺線之微分方程。
外部連結
评论 (0)