在代数學中 ，高斯引理以高斯命名，是关于整係數多项式的命題，或者更一般地说，是关于一个唯一分解整環的敘述。
高斯的引理断言两个本原多項式的乘積仍是本原多項式（本原多項式是指：係數的最大公因數為1的整係數多項式）。
高斯引理有一個推论，有时也被称为高斯引理。其斷定一個本原多项式在整数上是不可约的 ，若且唯若它在有理数上是不可约的。
整係數多項式版本
當一個整係數多項式 f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0的係數的最大公因數是1，我們稱其為本原多項式。那麼有以下高斯引理：
高斯引理 (本原版本). 兩個本原多項式的乘積仍是本原多項式。
证明：
以下以反證法證明，假設存在p不是1，整除乘積
設整係數多項式f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_sx^s,g(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_tx^t都是本原的，並反設h(x):=f(x)g(x)不是本原多項式。
於是h(x)是非本原的整係數多項式，因此可選整除h(x)所有係數的質數p。
但f(x),g(x)皆是本原的，從而可分別選定i\in\{0,\dots,s\},j\in\{0,\dots,t\}為滿足p\nmid a_i,p\nmid b_j的最小整數（i.e.從0項開始出發）。現在我們知道h(x)的i+j項係數是 \sum_{k=0}^{i+j}a_kb_{i+j-k}\equiv a_ib_j\not\equiv0\pmod{p}.
（乘積裏面先於a_i, b_j都是被p整除，所以只剩a_ib_j）根據假設，該項係數應該被p整除，矛盾，故得證。
高斯引理 (不可約版本). 如果一非常數整係數多項式在有理係數多項式環\mathbb{Q}[x]內可約，則他在整係數多項式環\mathbb{Z}[x]內也可約。
证明：
設h(x)是一在\mathbb{Q}[x]內可約的非常數整係數多項式。於是可取兩個非常數的有理係數多項式f_1(x),g_1(x)使得h(x)=f_1(x)g_1(x)。
透過適當選取整數a,b,c,d，可以假設\textstyle f_2(x):=\frac{a}{c}f_1(x),g_2(x):=\frac bdg_1(x)皆是本原多項式（當然也就是整係數多項式）。
由上一個引理，f_2(x)g_2(x)=\textstyle\frac{ab}{cd}h(x)也是本原多項式。於是\textstyle\frac{cd}{ab}是h(x)的係數的最大公因數，故\textstyle\frac{cd}{ab}是個整數。
現在，我們有h(x)=\textstyle\frac{cd}{ab}f_2(x)g_2(x)且\textstyle\frac{cd}{ab}是整數，於是也就證明了h(x)在\mathbb{Z}[x]內也可約。
參考資料
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