在数学分析和测度论中，勒貝格控制收斂定理（又称勒貝格受制收斂定理，），赋予了积分运算和极限运算可以交换顺序的條件。對逐点收敛的函数序列而言，其積分運算和收敛的极限運算未必一定可以交换。控制收敛定理说明了，如果逐点收敛的函数序列中的每個函數都能被同一个勒贝格可积的函数「控制」（即在每一點，序列中的每個函數的绝对值都小于「控制函數」），那么函数序列的极限函数的勒贝格积分等于函数序列中每个函数的勒贝格积分的极限。勒贝格控制收敛定理显示出勒贝格积分相比于黎曼积分的优越性，在数学分析和实变函数论中有很大的应用。

定理叙述
设(S,\Sigma,\mu)为一个测度空间， \{f_n\}_{n\geq 0}是一个实值可测函数列。如果\{f_n\}逐点收敛于一个函数f，并存在一个非负的勒贝格可积函数g\in L^1“控制”住了f，即对每个n\geq 0，任意x\in S，都有
: |f_n(x)| \le g(x)，
则：
#f_n和f也是勒贝格可积的，即f_n ,f \in L^1；
#
\int_S f d\mu = \int_S \lim_{n\to\infty} f_n\,d\mu=\lim_{n\to\infty}\int_S f_n\,d\mu.

进一步，此定理蕴涵着更强的结论：

\lim _{n\to \infty }\int _{S}|f_{n}-f|\,d\mu =0.

注

定理条件中，在S上函数列\{f_n\}_{n\geq 0}逐点收敛于f与在S上 |f_n(x)| \le g(x)均可减弱为在S上几乎处处成立，即这两个条件在S除去一个零测度集后的集合上成立。

证明
勒贝格控制收敛定理是更广泛的法图-勒贝格定理（）的特例。以下是一个引用法图引理的证明。

由于 f 是\{f_n\}逐点收敛的极限，因此对其仍然有
:\forall x \in S \ |f(x)| \le g(x)（于是\scriptstyle f \in L^1）。
同理，对任意的n有：
:|f-f_n|\le 2g 以及
:
\limsup_{n\to\infty}|f-f_n|=0.

根据反向的法图引理，
:
\limsup_{n\to\infty}\int_S|f-f_n|\,d\mu
\le\int_S\limsup_{n\to\infty}|f-f_n|\,d\mu=0.

而后者趋于0，于是定理得证。

控制函数的必要性
控制收敛定理能够成立的一个重要因素是存在一个可积的函数，使得函数列收敛的过程能够“安全”进行。如果缺少这个条件，调换运算次序就可能会导致问题。下面是一个例子：

设

f_n(x)=
\begin{cases}
n, & x \in (0,\frac{1}{n}] ,\\[6pt]
0, & x \in (\frac{1}{n},1].
\end{cases}

对(0,1] 中的任意x ，总有\lim_{n \to \infty } f_n(x)=0，同时f_n在(0,1]上的积分总是1。

所以
:
\int_0^1\lim_{n\to\infty} f_n(x)\,dx
=0\neq 1=\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)\,dx,

这说明积分与极限不能交换顺序。

原因是这时不存在可积的控制函数“控制”住函数列\{f_n(x)\}，事实上，定义 h(x) = \sup_{n \ge 0} f_n (x)，x \in (0,1]。那么在\Bigl(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\Bigl]上h(x)= n 。于是如果存在控制函数g，那么 g \ge h，但是
:
\int_0^1 h(x)\,dx
\ge\int_{1/m}^1 h(x)\,dx
=\sum_{n=1}^{m-1}\int_{\left(\frac1{n+1},\frac1n\right]}n\,dx
=\sum_{n=1}^{m-1}\frac1{n+1}
\to\infty\quad （当 m\to\infty 时）

也就是说g不可积。

由此可见，可积的控制函数是定理成立的必需条件。

有界收敛定理
控制收敛定理一个直接的推论就是有界收敛定理（Bounded convergence theorem），它的叙述如下：

设(S,\Sigma,\mu)为一个测度空间，\mu(E) 。设 \{f_n\}_{n\geq 0}是一个实值的勒贝格可积函数列（即f_n \in L^1），且它们是一致有界的，即\forall n \ge 0 , \exist M \ge 0，使得\left | f_n(x) \right | \le M ,\forall x \in S，若\{f_n\}在S上逐点收敛于函数f，则f也是勒贝格可积的（f \in L^1）,且

\lim _{n\to \infty }\int _{S}{f_{n}\,d\mu }=\int _{S}{f\,d\mu }.

参见
*勒贝格积分
*一致可积

参考资料

R.G. Bartle, "The Elements of Integration and Lebesgue Measure", Wiley Interscience, 1995.
H.L. Royden, "Real Analysis", Prentice Hall, 1988.
D. Williams, "Probability with Martingales", Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6
匡继昌. 实分析与泛函分析. 第2版. 北京: 高等教育出版社, 2025.

勒贝格控制收敛定理

定理条件中，在S上函数列\{f_n\}_{n\geq 0}逐点收敛于f与在S上 |f_n(x)| \le g(x)均可减弱为在S上几乎处处成立，即这两个条件在S除去一个零测度集后的集合上成立。

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