在数理逻辑中，经典勒文海姆–斯科伦定理（）声称对于标识（signature）为 的任何可数一阶逻辑语言 L 和 L-结构 M，存在一个可数无限基本子结构 N \subseteq M。
这个定理的自然和有用的推论是所有一致的 L-理论都有可数的模型。
这里的标识由常量集合 \mathbf{C}、函数集合 \mathbf{F}、关系符号集合 \mathbf{R}、和表示函数和关系符号的元数的函数 \sigma: \mathbf{F} \cup \mathbf{R} \rightarrow \mathbb{N} 组成。在这个上下文中 L-结构，由底层集合(经常指示为“M”)和 L 的函数和关系符号的释义组成。L 的常量在 M 中的释义就是 M 的成員。类似的，\sigma(f) \ -元函数 f \in \mathbf{F} 被指派为 M 中的 \sigma(f) \ -元函数 M^{\sigma(f)} \rightarrow M 的图，而\sigma(R) \ -元关系 R \in \mathbf{R} 的释义被指派为 M 中的 \sigma(R) \ -元关系。语言 L 是可数的，如果在 L 中的常量、函数和关系符号是可数的。
例子
一个周知的不可数模型是所有实数的集合，带有次序关系 "\forall x\ \exists y\ R(x,y)
或
:\forall x_1\ \cdots\ \forall x_n\ \exists y_1\ \cdots\ \exists y_m R(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)
有一个Skolem 函数 f，就是说映射 x 到断言了其存在的 y 的函数，使得
:\forall x\ R(x,f(x))
在 M 中为真。因为有很多这样的 y 的值，必须启用选择公理来推出 Skolem 函数的存在。
这个模型的某些成员可以直接用一阶公式来定义，就是说，它们的存在被如下形式的句子所断言
:\exists y_1\ \cdots\ \exists y_m R(y_1,\dots,y_m)
并且因为只有可数多个一阶公式，只有可数多个成员可以用这种方式直接定义。
证明的想法是: 开始于这个模型的所有一阶可定义成员的集合，并接着在所有 Skolem 函数下闭合它。这个闭包必定最多是可数无限的。这个模型的子集是这个定理断言了其存在的子模型。
更一般的 "勒文海姆–斯科伦定理"
上述定理假定了有限或可数无限的语言。更一般的勒文海姆–斯科伦定理做其他有关基数的假定。类似于这个经典定理的某些定理，断言更小的子模型的存在(“向下”勒文海姆–斯科伦定理)；其他一些断言更大基数的模型的存在(“向上”勒文海姆–斯科伦定理)。
勒文海姆-斯科伦定理在一阶逻辑中的定义和证明
勒文海姆-斯科伦定理: 如果 \Delta 是一个含有有限可数个数的命题组成的集合，并且集合 \Delta 是可以满足的(\Delta SAT),那么至少存在一个模型(或叫作指派，或叫作解释 (Interpretation)) 用符号记作 I, I \models \Delta ,且这个模型 I 指派解释也是可数的
证明:
:前提:在语言集合L中如果我们有一个可满足式的有限可数命题公式的集合 \Delta，且\phi \in \Delta,\phi是\Delta中的命题公式
:如果我们有一个集合，用字母记作 S ,并且 S = \bigcup_{\phi \in \Delta} CL(\phi) ，其中集合 CL(\phi)是由命题公式\phi转换成子句结构(Clause)所组成的集合，我们有一个定理(记作Th): 如果\psi是可满足式的(Satisfaisable)公式，当且仅当Clause(\psi)也是可满足式的，通过这个定理，我们确保S是可满足的，并且也是可数的
:如果我们有一个基于语言集合L的等价公理集合，记作 E_= (该集合是为了用于Skolemisation方法中,也就是\phi在转化成Clause(\phi)过程中，去除有限量词\exist的方法Skolemisation,化为Skolem范式)
:那么很显然 S\bigcup E_= 也是可满式的集合，那么 IF( S\bigcup E_=) 同样是可满足的
:由于语言集合L中的元素是可数的 所以IF( S\bigcup E_=) 是也是有限可数的集合
:如果我们有一个模型，记作 I 且 I \models IF( S\bigcup E_=),赫尔不兰特定理(Theoreme de Herbrand)告诉我们如果我们要构造一个模型M,并且 M \models S\bigcup E_=，那么模型M的模型解释指派域(记作)D是一个以I(t)为元素的指派域(其中t是在S中的所有的项)，那么模型M是通过Congurence关系来解释指派等价性关系(Egalite)
:由于我们说语言理合L是可数的，那么指派解释域D也是可数的
:那么我们可以构造另一个模型M'，并且基于解释域 D/M_=(我们通过等价关系来指派解释等价性)且M'\models S,那么M'必然也是可数的，那么根据Th定理，M'\models S ,那么我们就可以说 M'\models \Delta
:所以我们证明了勒文海姆-斯科伦定理
参见
- Skolem悖论
- 模型论
引用
- Wilfrid Hodges (1997), "A Shorter Model Theory", Cambridge University Press, ISBN 0521587131
- María Manzano (1999), "Model Theory", Oxford University Press, ISBN 0198538510
- Rothmaler, Philipp (2000), "Introduction To Model Theory", CRC
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