里斯表示定理

在泛函分析中有多个有名的定理冠以里斯表示定理（），它们是为了纪念匈牙利数学家弗里杰什·里斯。

希尔伯特空间的表示定理
此定理說明希尔伯特空间的連續線性泛函都可以表示成內積。

定理： H 是個複希尔伯特空间（也就是标量是複數），那對於任意連續線性泛函 f:H\to\C ，存在唯一的 v_f \in H 使得

: f(h) = \langle v_f,\,h\rangle

證明的重點在於先證明 f 的核的正交补是 H 的一维子空间，然後取那个子空间中一个非零元素 z，設 v_f = \frac{f(z) \cdot z }{{\|z\|}^2}。

與狄拉克符號的關係
这个定理也是量子力学中的狄拉克符号於數學上合理的依據；也就是說，当機率幅 \phi\rangle 對每個任意態向量 \phi\rangle 都是連續的時候，可以視為每个左向量 \langle\psi| （也就是表示躍遷到 \psi 狀態的機率幅的線性泛函）都有一个相应的右向量 |\psi\rangle 來同時代表同一個純態 \psi ，因為根據以上的表現定理， \phi\rangle 就是 |\psi\rangle 和 \phi\rangle 的內積。

里斯-马尔可夫表示定理
歷史
历史上，通常认为这个定理同时由里斯和弗雷歇发现
{{Quotation|
给定算子 A[f]，（任何人）可以構造一個有界变差函数 \alpha(x)，使得，對任何连续函数 f(x) ，（任何人）有
:A[f] = \int_{0}^{1} f(x)\,d\alpha(x)。

A[f] \alpha(x) f(x)
:A[f] = \int_{0}^{1} f(x)\,d\alpha(x).
|Riesz, 1909
}}
支集為緊的連續函數空間
C_c(X) 意為由所有支集為紧的连续函数 f:X\to\C 所構成的函数空间。

定理： X 是局部紧的豪斯多夫空间 ，則對正线性泛函 \Lambda:C_c(X)\to\R^+ ，存在一個含有所有 X 的博雷爾集的Σ-代数 \mathfrak{M} ，且存在唯一的测度 \mu:\mathfrak{M}\to\R^{+}\cup\{-\infty,\,\infty\} 使得
: \Lambda(f) = \int_X f \, d \mu
且（以下的條件稱為正則的）

对所有 X 的紧子集 K\subseteq X ， \mu(K)\in \R *。

• 若 E\in \mathfrak{M} ，則 \mu(E) = \inf \{\mu(U): E \subseteq U,\,U \text{ is open}\}
• 若 E\in \mathfrak{M} 且 \mu(E)\in \R ，則 \mu(E) = \sup \{\mu(K): K \subseteq E,\,K \text{ is compact}\}
• 若 O 為 X 的開集，則 \mu(O) = \sup \{\mu(K): K \subseteq O,\,K \text{ is compact}\}

於無窮遠處消失的連續函數空間
里斯-马尔可夫表示定理也有以下不同的版本：

設 C_0(X) 為 X 上所有在無窮遠處消失的连续函数 f:X\to\C 所構成的函数空间。

定理： X 是局部紧的豪斯多夫空间。則對有界线性泛函 \Lambda:C_0(X)\to\R ，存在一個含有所有 X 的博雷爾集的Σ-代数 \mathfrak{M} ，且存在唯一的正則测度 \mu:\mathfrak{M}\to\R\cup\{-\infty,\,\infty\} 使得
: \Lambda(f) = \int_X f \, d \mu
且 \Lambda 的范数是 \mu 的全变差（），即
: \|\Lambda\| = |\mu|(X).
最后， \Lambda 是正的当且仅当测度 \mu 是非负的。

注： C_c(X) 上的有界线性泛函可唯一地延拓为 C_0(X) 上有界线性泛函，因为后一个空间是前者的闭包。但是 C_c(X) 上一个无界正线性泛函不能延拓为 C_0(X) 上一个有界线性泛函。因此前两个结论应用的情形稍微不同。

参考文献

• M. Fréchet (1907). Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1414–1416.
• F. Riesz (1907). Sur une espèce de géométrie analytiques des systèmes de fonctions sommables. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1409–1411.
• F. Riesz (1909). Sur les opérations fonctionelles linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 149, 974–977.
• J. D. Gray, The shaping of the Riesz representation theorem: A chapter in the history of analysis, Archive for History in the Exact Sciences, Vol 31(3) 1984-85, 127-187.
• P. Halmos Measure Theory, D. van Nostrand and Co., 1950.
• P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Springer, New York 1982 (problem 3 contains version for vector spaces with coordinate systems).
• D. G. Hartig, The Riesz representation theorem revisited, American Mathematical Monthly, 90(4), 277-280 (A category theoretic presentation as natural transformation).
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6.

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