约翰逊-林登斯特劳斯定理（），又称约翰逊-林登斯特劳斯引理（Johnson–Lindenstrauss lemma），是由和于1984年提出的一个关于降维的著名定理，在现代机器学习，尤其是压缩感知、降维、和等领域中有很重要的应用。
这个定理指出，一个高维空间中的点集，可以被线性地镶嵌到低维空间中，同时其空间结构只遭受比较小的形变。约翰逊-林登斯特劳斯定理的证明，还说明了如何用明确地求出这个变换，所用的算法只需要随机多项式时间。当然，降维不是免费的：如果要求形变很少的话，是被嵌入的低维空间维数不能很低；反之亦然，如果要求将点集嵌入很低维的空间，那么就不能很好地控制结构形变的程度。
因为能将维数下降到样本量的对数阶，更兼所用的变换是线性的、显式的还可以被快速计算，约翰逊-林登斯特劳斯定理是一个力度非常强的结论。
定理陈述
对任何给定的\epsilon\in(0,1)以及N维欧几里德空间中的m个点\{x_1,\ldots,x_m\}，对于任意满足条件n>(\epsilon^2/2-\epsilon^3/3)^{-1}\log m的正整数n，存在一个线性映射f:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}^n，将这m个点，从\mathbb{R}^N(维数可能很高的空间)中映射到\mathbb{R}^n(低维空间)中，同时“基本上”保持了点集成员两两之间的距离，即：对于任意两个点(x_i,x_j):1\leq i，都有
: (1-\epsilon)\|x_i-x_j\|_2^2\leq \|f(x_i)-f(x_j)\|_2^2\leq(1+\epsilon)\|x_i-x_j\|_2^2
更进一步地，这个线性映射f还可以在随机多项式时间内求出。
直观理解
约翰逊-林登斯特劳斯定理揭示了一些关于降维映射深刻事实，其中一些还是违反简单直觉的。因此，要想直观地理解这个定理，对初学者来说，可能比从数学式子上读懂证明还要难(反而此定理的证明只用到了比较简单的关于投影的)。举例来说，定理的结论表明，度量形变程度的误差参数\epsilon以及低维空间的维数n这两个度量降维水准的关键量，均与原始数据所在的空间维数N或者原始的m个点具体为何种空间结构无关，这是很不平凡的。
最优性
约翰逊-林登斯特劳斯定理是不能被本质性地改进的，即：给定任意正整数m和误差参数\epsilon，存在某个N以及\mathbb{R}^N中的m个点，这个点集“难以降维”——也就是说，对任何一个满足“基本保持点距”要求(即：(1-\epsilon)\|x_i-x_j\|_2^2\leq \|f(x_i)-f(x_j)\|_2^2\leq(1+\epsilon)\|x_i-x_j\|_2^2要对任意(i,j):1\leq i成立)的线性映射f:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}^n，它用来镶嵌高维数据的那个低维空间(即\mathbb{R}^n)，至少必须具有
: n=\Omega\left(\frac{\log m}{\epsilon^2}\right)
这么多的维数。
证明提要
定理可以用高年级大學生容易理解的方法证明，其思路是证明如下事实：多次独立地重复进行随机投影的试验，每次试验中随机抽取的投影f_0:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}^n都有至少1/n的概率符合定理中对映射f全部的要求(显然，验证任何一个f_0是否符合这些要求只需O(n^2)时间)，因此只要重复该独立实验\omega(n)次就能以逼近100%的概率产生至少一个符合要求的映射f。
参考文献
评论 (0)