茶年 · 中文维基百科

伯特蘭-切比雪夫定理

Wikipedia · 2026-05-10 维基百科 👁 1 阅读

伯特蘭-切比雪夫定理說明：若整數n>3，則至少存在一個質數p，符合n。另一個稍弱說法是：對於所有大於1的整數n，存在一個質數p，符合n。

1845年約瑟·伯特蘭提出這個猜想。伯特蘭檢查了2至3×106之間的所有數。1852年切比雪夫證明了這個猜想。拉馬努金給出較簡單的證明，而艾狄胥則借二項式係數給出了另一個簡單的證明。

相關定理
西爾維斯特定理
詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特證明：k個大於k的連續整數之積，是一個大於k的質數的倍數。
艾狄胥定理
艾狄胥證明：對於任意正整數k，存在正整數N使得對於所有n>N而言，n和2n之間有k個質數。

根據質數定理，n和2n之間的質數數目大約是n\over\log(n)。

證明
切比雪夫原始的證明是他所證明的以下和質數計數函數\pi(n)相關的不等式的一個引申結果：
: 對於足夠大的 x ，有 A\frac{x}{\log(x)}

在1932年，保羅·艾狄胥給出一個初等證明。下文的證明以保羅·艾狄胥提出的證明為基礎，證明的方法是运用反證法，反設定理不成立，然后用两种方法估计{2n \choose n}的上下界，得出矛盾的不等式

註：下面的證明中，都假設p屬於質數集。

不等式1
這條不等式是關於{2n \choose n}的下界的。

  • 對於正整數n，{2n \choose n} \ge \frac{4^n}{2n}

證明 ：
: 對於 k \le 2n ， {2n \choose n} \ge {2n \choose k}
:若k \ne n，{2n \choose n} > {2n \choose k}
: 因此 2n {2n \choose n} \ge \sum_{i=1}^{2n} {2n \choose i} + 1 = 2^{2n} = 4^n

引理1

  • \prod_{k+1

证明：
注意到所有大于 k+1 而小于 2k+1 的质数都在(2k+1)! 中而不在(k+1)! 或 k！ 中，于是\prod_{k+1 是{ {2k+1} \choose {k+1} }的因子。
: \prod_{k+1
: 同时又有 2{ {2k+1} \choose {k+1} } = { {2k+1} \choose {k+1} } + { {2k+1} \choose {k} }

:于是就有 \prod_{k+1

定理1
這個定理和{2n \choose n}的上界有關。

  • 對於所有正整數n， \prod_{p \le n } p

數學歸納法：

當n=2，2 n的整數，敘述都成立。

顯然，若n>2且n是偶數，\prod_{p \le n } p = \prod_{p \le n-1 } p。对于奇数的n，设n=2k+1。

從引理1和歸納假設可得：

\prod_{p \le n } p = \prod_{p \le 2k+1 } p = \prod_{p \le k+1 } p \cdot \prod_{k+1

系理1
首先的定理：

  • 若p是質數，n是整數。設s是最大的整數使得p^s|n! ，則s=\sum_{i=1}^{\infty} {\lbrack \frac{n}{p^i} \rbrack}

下面這些系理和{2n \choose n}的上界有關。

若p為質數，設s_p是最大的整數使得 p^{s_p} 整除 {2n \choose n}，則：

:s_p=\sum_{i \ge 1} {( \lbrack \frac{2n}{p^i} \rbrack - 2 \lbrack \frac{n}{p^i} \rbrack ) }

對於所有x>0， \lbrack 2x \rbrack - 2 \lbrack x \rbrack \le 1 ，所以

:s_p=\sum_{i \ge 1} {( \lbrack \frac{2n}{p^i} \rbrack - 2 \lbrack \frac{n}{p^i} \rbrack ) } \le max \left\{ r | p^r \le 2n \right\}

于是得到三个上界：

p^{s_p} \le 2n

若 \sqrt{2n} ， s_p \le 1

若 2n/3 ，s_p=0（因为 2n! 中只有两个 p，在 n! 中恰有一个 p）

核心部分
假設存在大於1的正整數n，使得沒有質數p符合n。根據系理1.2和1.3：

{2n \choose n} = \prod_{p \le 2n} p^{s_p} = \prod_{p \le 2n/3 } p^{s_p} \le \prod_{ p \le \sqrt{2n} } p^{s_p -1} \cdot \prod_{ p \le 2n/3 } p

再根據系理1.1和定理1：
{2n \choose n} \le 上式最右方

結合之前關於2n \choose n的下界的不等式1：
: (2n)^{-1} 4^n

: 4^n
: 4^{2n/3}

兩邊取自然對數，并设x = \sqrt{2n}：

: x \ln 2 - 3 \ln x 。

顯然x \ge 16，即n \ge 128時，此式不成立，得出矛盾。
因此n \ge 128時，伯特蘭—切比雪夫定理成立。

再在n時驗證這個假設即可。

參考

外部連結

#素数 #数学定理

评论 (0)

  • 还没有评论，来抢沙发吧。