拉格朗日恒等式

在代数中，以约瑟夫·拉格朗日命名的拉格朗日恒等式是：

:
\begin{align}
\biggl( \sum_{k=1}^n a_k^2\biggr) \biggl(\sum_{k=1}^n b_k^2\biggr) - \biggl(\sum_{k=1}^n a_k b_k\biggr)^2 & = \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^n(a_i b_j - a_j b_i)^2 \\
& \biggl(= \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1,j\neq i}^n(a_i b_j - a_j b_i)^2\biggr),
\end{align}

应用于任意两个实数或复数集合（或者更一般地，一个交换环的元素）{a1, a2, . . ., an} and {b1, b2, . . ., bn}。这个恒等式是婆罗摩笈多－斐波那契恒等式的推广，同时也是Binet–Cauchy恒等式的特殊形式。

用一个更为简洁的向量形式表示，Lagrange恒等式就是：

:\| \mathbf a \|^2 \ \| \mathbf b \|^2 - (\mathbf {a \cdot b } )^2 = \sum_{1 \le i

其中a和b是由实数构成的n维向量。向复数的引申需要将点积理解为内积或者Hermitian点积。准确的说，对于复数，Lagrange恒等式可以写成以下形式：

:\biggl( \sum_{k=1}^n |a_k|^2\biggr) \biggl(\sum_{k=1}^n |b_k|^2\biggr) - \biggl|\sum_{k=1}^n a_k b_k\biggr|^2 = \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^n |a_i \overline{b}_j - a_j \overline{b}_i|^2

用到复数的模

拉格朗日恒等式和外代数
拉格朗日恒等式用楔积可以写成
:(a \cdot a,b \cdot b) -(a \cdot b)^2 =(a \wedge b) \cdot(a \wedge b)。

因此，它可以看作是一个以点积形式给出两个向量楔积的公式，也就是由它们定义的平行四边形，即

:\|a \wedge b\| = \sqrt{(\|a\|\ \|b\|)^2 - \|a \cdot b\|^2}。

参考资料