質數定理

在數論中，素数定理（）描述素数在自然數中分佈的漸進情況，給出隨著數字的增大，質數的密度逐漸降低的直覺的形式化描述。1896年法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家德·拉·瓦莱布桑先後獨立給出證明。證明用到了複分析，尤其是黎曼ζ函數。

素数的出現規律一直困惑著數學家。一個個地看，素数在正整數中的出現沒有什麼規律。可是總體地看，素数的個數竟然有規可循。對正實數x，定義π(x)為素数计数函数，亦即不大於x的素数個數。數學家找到了一些函數來估計π(x)的增長。以下是第一個這樣的估計。

:\pi(x)\approx\frac{x}{\ln\,x}

其中 ln x 為 x 的自然對數。上式的意思是當 x 趨近無限，π(x)與x/ln x的比值趨近 1。但這不表示它們的數值隨著 x 增大而接近。

下面是對π(x)更好的估計：

:\pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x e^{-\frac{1}{15}\sqrt{\ln\,x}}\right)，當x 趨近∞。

其中{\rm Li} (x) = \int_2^x \frac{dt}{\ln\,t}（对数积分），而關係式右邊第二項是誤差估計，詳見大O符號。

敘述
定義 π(x) 為素数计数函数，也就是小於等於x 的質數個數。例如 π(10)=4，因為共有 4 個質數小於等於 10，分別是 2、3、5、7。質數定理的敘述為：當 x 趨近無限，π(x) 和 \frac{x}{\ln x} 的比值趨近 1。其數學式寫做

:\lim_{x\to\infty}\frac{\;\pi(x)\;}\frac{x}{\ln(x)}=1。
淺白的說，當 x 很大的時候，π(x) 差不多等於 \frac{x}{\ln x}。該定理被認為是質數的漸進分布定律，以漸進符號可簡化為
:\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}。

注意到，上式並不是說指隨著 x 趨近無限，\pi(x) 與 \frac{x}{\ln x}的差趨近於 0。而是隨著 x 趨近無限，\pi(x) 與 \frac{x}{\ln x}的相對誤差趨近於 0。

因此，質數定理也可以被想像成描述從正整數中抽到素数的概率：從不大於 n 的正整數中隨機選出一個數，它是素数的概率大約是\frac{1}{\ln n}。

質數定理有一個相關的定理，是關於第n個素数 p_n 的下界，也就所謂的Rosser定理：

:p_n > n\ln\,n

關於 、 和 的數值
下表比較了π(x)，x/ln x和Li(x)：

:

歷史
1797年至1798年間，法國數學家勒讓德根據上述的質數表猜測，\pi(x)大約等於 \frac{x}{A\ln x +B}，其中A、B是未知的函數。勒讓德於1808年出版一本關於數論的書的第二版，書中他給出更精確的猜測：A = 1，B = -1.08366。根據高斯自己在1849年的回憶，他在15歲或16歲(1792或1793年)的時候就已經考慮過類似的問題了。1832年，狄利克雷經過跟高斯的交流之後，給出了一個新的逼近函數 li(x)，(事實上他是用一個有點不一樣的級數表達式)。勒讓德和狄利克雷的式子皆等價於現在的版本，但如果考慮逼近式與 \pi(x) 的差，而不是比值的話，狄利克雷的式子是準確許多的。

俄國數學家切比雪夫參考了歐拉在1731年的工作，引進了定義在實數軸上黎曼ζ函數，企圖證明質數分布的漸進式，並將他所得到的結果寫成兩篇論文，分別在1848和1850年發表。切比雪夫可以證明，如果\lim_{x\to\infty}\frac{\;\pi(x)\;}\frac{x}{\ln(x)}存在且有限，則它一定是1。此外，在沒有假設任何結果之下，他也證明當 x 足夠大，\frac{\;\pi(x)\;}\frac{x}{\ln(x)}會界在兩個很靠近 1 的數字之間。雖然切比雪夫的論文沒辦法證明質數定理，但它對 \pi(x) 已經可以推論出伯特蘭-切比雪夫定理：對任何大於1的正整數n，存在一個質數介於n和2n之間。

1859年，黎曼提交了一篇關於質數分布的非常重要的報告《》，這也是黎曼在這個領域的唯一一篇文章。黎曼在報告中使用了創新的想法，將\zeta函數的定義解析延拓到整個複數平面，並且將質數的分布與\zeta函數的零點緊密的聯繫起來。因此，這篇報告是歷史上首次用複分析的方法研究實函數 \pi(x)。1896年法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家夏尔-让·德拉瓦莱·普桑先後獨立給出證明。兩個證明延著黎曼的思路繼續拓展，且都使用複分析的工具，其中的關鍵步驟是證明如果複數s可以寫成 1 + it 的形式，且 t>0，則 \zeta(s)\neq 0。

進入20世紀之後，阿達馬和普桑證明的定理經常被稱作質數定理，定理的其他不同證明也陸陸續續被發現，這之中包括1949年阿特勒·塞爾伯格和艾狄胥·帕爾發現的「初等證明」。原本的證明是既冗長，又複雜，於是有很多後面發現的證明使用了讓證明變得比較簡短，但卻變得讓人比較難以消化。1980年，美國數學家發現了一個簡潔的證明，這可能是目前已知最簡單的證明。不過，證明中使用了柯西積分公式，因此一般不被視為是為初等的證明。

因為黎曼ζ函數與\pi(x)關係密切，關於黎曼\zeta函數的黎曼猜想對數論很重要。一旦猜想獲證，便能大大改進素数定理誤差的估計。1901年瑞典數學家海里格·馮·科赫證明出，假設黎曼猜想成立，以上關係式誤差項的估計可改進為

: \pi(x) = {\rm Li} (x) + O\left(\sqrt x \ln\,x\right)

Schoenfeld在1976年證明了在黎曼猜想成立的狀況下，對於任意的2657\le x而言，有以下關係式，以下的\log{x}是自然對數：

: \big|\pi(x) - \operatorname{li}(x)\big|

在同一篇論文中，Schoenfeld還證明了在黎曼猜想成立的狀況下，有以下跟切比雪夫函數有關的關係式，以下的\log{x}是自然對數：
:\begin{align}
|\vartheta(x)-x| &

而在不假定黎曼猜想的情況下，在2016年，Timothy Trudigan證明了對於任意的x \ge 229而言，有以下明確公式，以下的\log{x}是自然對數：
: \big| \pi(x) - \operatorname{li}(x) \big| \le 0.2795 \frac{x}{(\log x)^{3/4}} \exp \left( -\sqrt{ \frac{\log x}{6.455} } \right)

證明
質數定理的證明最初在1896年由法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家夏尔-让·德拉瓦莱·普桑先後獨立給出證明；而之後許多數學家給出了不同的證明。

初等證明
素数定理有些初等證明只需用數論的方法。第一個初等證明於1949年由匈牙利數學家保羅·艾狄胥和挪威數學家阿特利·西爾伯格合作得出。

在此之前一些數學家不相信能找出不需借助艱深數學的初等證明。像英國數學家哈代便說過素数定理必須以複分析證明，顯出定理結果的「深度」。他認為只用到實數不足以解決某些問題，必須引進複數來解決。

相關條目
*抽象解析数论
*切比雪夫函數─與質數定理密切相關的函數
*質數計數函數

參考資料
外部链接
Liczba pierwsza#Twierdzenie o liczbach pierwszych