本迪克森-杜拉克定理

在数学裡，本迪克森-杜拉克定理（）说明了对于一个二维的驻定动力系统

: \frac{ dx }{ dt } = X(x,y),
: \frac{ dy }{ dt } = Y(x,y)
如果存在\varphi ( x,y) 使得

:\frac{ \partial (\varphi X) }{ \partial x } + \frac{ \partial (\varphi Y) }{ \partial y } \ne 0

在研究区域（必须是单连通的）上几乎处处成立，那么这个动力系统不存在周期解。所谓“几乎处处成立”是指不成立的点的集合是一个测度为零的集合。

該定理最初由瑞典數學家於1901年提出，並於1923年由法國數學家運用格林定理加以完善。

证明
运用反证法，假设研究区域为单连通的区域 D，其内存在对于动力系统：
: \frac{ dx }{ dt } = X(x,y),
: \frac{ dy }{ dt } = Y(x,y)
的一组周期解(x,y)，其周期为T，那么对于
:\Gamma : x = x(t) \, \ y = y(t) \, \ 0 \le t \le T
所围成的区域D_{\Gamma} \subset D，有
:\iint_{D_{\Gamma}} \, (\frac{ \partial (\varphi X) }{ \partial x } + \frac{ \partial (\varphi Y) }{ \partial y }) dx\,dy = \int_{\Gamma} \, \varphi(Xdy - Ydx)
:=\int_0^T \, \varphi (X \frac{ dy }{ dt } - Y\frac{ dx }{ dt })dt = \int_0^T \, \varphi (XY - YX)dt = 0

但是由于使得 \frac{ \partial (\varphi X) }{ \partial x } + \frac{ \partial (\varphi Y) }{ \partial y } = 0 的点 (x,y) 的集合是一个测度为零的集合，所以总可以找到 \varphi 使得\frac{ \partial (\varphi X) }{ \partial x } + \frac{ \partial (\varphi Y) }{ \partial y } 在零点之外不变号。这样\iint_{D_{\Gamma}} \, (\frac{ \partial (\varphi X) }{ \partial x } + \frac{ \partial (\varphi Y) }{ \partial y }) dx\,dy不可能为0，矛盾！

因此周期解不存在，定理得证。

参见

• 极限环
• 庞加莱回归

参考资料

• 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松，《常微分方程》（第三版），297页，高等教育出版社。
• MICHAL FECKAN,A GENERALIZATION OF BENDIXSON'S CRITERION，Proceedings of The

American Mathematical Society, Volume 129, Number 11, Pages 3395-3399,S 0002-9939(01)06107-X,
Article electronically published on April 25, 2001[http://www.ams.org/proc/2001-129-11/S0002-9939-01-06107-X/S0002-9939-01-06107-X.pdf]