图论中，惠特尼连通性定理（），简称惠特尼定理（），是美國數學家哈斯勒·惠特尼于1932年提出的关于2连通图等价性质的定理，该定理提供了关于2连通图的不同点对之间的连通性质刻画，描述了2连通图的特殊性质。

定理陈述
对一个图G，若G至少存在3个点，则G是2连通的当且仅当对G中任意两个点u, v，G中至少存在连接u, v的2条内部不相交路径，即除首尾相同（皆為u, v）外，沒有其他公共頂點的路徑。

定理证明
必要性
因为任意两点之间均存在路径，于是G是连通的。

进一步，对于任意两点之间有至少存在两条内部不相交路径，所以考虑删除G中任意一点，其均不会造成G不连通。于是G是2连通的。

充分性
G是2连通的，希望证明对于任意两点u, v\in V(G)，能找到至少两条连接u, v的内部不相交路径。

下面通过对u, v之间的距离d(u, v)进行归纳来由数学归纳法证明：

对于d(u, v) = 1，此时uv是G的一条边。而由于\kappa(G)\geq 2，根据惠特尼不等式，\lambda(G) \geq \kappa(G)，于是\lambda(G)\geq 2。那么G至少需要删两条边才会导致不连通，于是G删一条边之后仍然还是连通的。则考虑G-uv，其仍然是连通图，于是对于u, v，G-uv仍然存在一条路径连接u, v。于是G中至少存在两条连接u, v的内部不相交路径。

假设对于d(u, v) = k - 1，G中都存在至少两条连接u, v的内部不相交路径，则考虑d(u, v) = k；

由于u, v之间距离为k，则G中一定存在一条连接u, v的路径P，且P的长度（其包含的边的数量）为k，如图1所示。此时考虑P中v的邻居w，w一定满足d(u, w) = k - 1。这是因为对于w在P中已经有u到w长度为k-1的路径，而如果还存在其他路径长度小于k-1，那么也存在u到v的路径长度小于k，与d(u, v) = k矛盾。于是对于u, w，根据归纳假设，存在至少2条连接u, w的内部不相交路径P, P'。于是P\cup P'构成了一个环，如图2所示。

#* 如果v\in P\cup P'，即v已经在这个环上，如图3所示，则对于u与v这两个环上的点，它们之间也存在环上两条相反的绕行方向的路径，于是u与v存在两条内部不相交的路径。
#* 如果v\notin P\cup P'，那么由于G是2连通的，则考虑G-w，其仍然是连通的。那么对于u, v，此时存在另一条连接u, v的路径Q。此时，如果Q与P以及P'除了u之外没有其他交点，如图4所示，则显然Q与P\cup wv就构成了连接u, v的两条内部不相交路径；否则，令z为Q与P\cup P'相交的最后一个交点，根据P, P'的对称性，不妨假设z就在P上，如图所示。那么考虑\underbrace{(u\rightsquigarrow z)}_P\cup \underbrace{(z\rightsquigarrow v)}_Q和\underbrace{(u\rightsquigarrow w)}_{P'}\cup wv，这两条路径则构成了连接u, v的内部不相交路径。

于是无论如何，当d(u, v) = k时，均能至少找到连接u, v的两条内部不相交路径。

于是根据数学归纳法，当G是2连通图时，对于任意两点u, v\in V(G)，能找到至少两条连接u, v的内部不相交路径。

推论
根据惠特尼定理的结论，可以得到关于2连通图的等价描述的推论：

图G是连通且没有割点（即图G是2连通的）；

对于图G中任意两点u, v，G中存在至少两条连接u, v的内部不相交路径；

对于图G中任意两点u, v，G中存在一个环C且u, v均在C上；

图G的最小度至少为1，且对于图G中的任意两条边e_1, e_2，G中存在一个环C且e_1, e_2均在C上。

推论证明

• 描述1\Leftrightarrow描述2：直接运用惠特尼定理即可。
• 描述2\Leftrightarrow描述3：关系是显然的。若这两点之间存在至少两条连接它们的内部不相交路径，则这两条内部不相交路径的并形成了环且这两点在环上；若存在这两点同时位于环上，则这两点之间在环上的不同绕行方向的路径形成了连接它们的两条内部不相交路径。
• 描述4\Leftrightarrow描述3：对任意的两点u, v\in V(G)，由于\delta(G)\geq 1，则u, v均存在邻居，\exists ux, vy\in E(G)。考察ux, vy，

** 若ux\cap vy = \varnothing即ux, vy两条边完全分离，则由于任意两条边均位于一个环上，于是ux, vy位于同一个环上，于是u, v也位于该环上。
** 若ux\cap vy = z即ux, vy两条边有一个公共点z，此时ux, vy仍然是两条不同的边，则同样由于任意两条边均位于一个环上，于是ux, vy位于同一个环上，于是u, v也位于该环上。
** 若ux\cap vy = uv即ux, vy实际上只是一条边uv，此时uv与其他任意一条边仍然位于同一个环上，所以u, v仍然位于环上。

• 描述123\Leftrightarrow描述4：首先根据描述1，图G是连通的，所以\delta(G)\geq 1。其次，对于图G中的任意两条边uv, xy，下面证明它们位于同一个环上。

令G' = G\cup \{w, z\}\cup \{uw, vw, xz, yz\}。首先G'仍然是2连通的，这是因为，G'的构造过程是加入两个点且两个点均与原图G中两个点相连，则考虑G'中的割集S。若割集中含有新加入的点\{w, z\}，则除去新加入的点，S - \{w, z\}是原图G的割集，而根据描述1，G本是2连通的，则|S| \geq 2+1=3或|S| \geq 2+2=4；若割集中不含有新加入的点，如果割集取自\{u, v, x, y\}，则|S| \geq 2，否则S实际上是原图G的割集，所以同样，|S| \geq 2。所以无论如何，对于G'的任意割集，其大小至少为2，故G'仍然是2连通的。实际上，关于向k-连通图加入辅助点的更一般的结论称为「扩展引理」（），它也在证明门格尔定理中发挥了作用。

那么根据描述3，对于G'，一定存在环C，w, z均位于C上。而w, z的度均为2，所以uw, vw, xz, yz也位于C上，且C的其他边均来自原图G。于是可以将uwv替换成uv，xzy替换成xy，从而uv, xy均位于原图中的一个环上。

影响及意义
惠特尼定理提供了对于2连通性的更具体的性质刻画，从而提供了另一种对于2连通性的具体证明方向。

参考文献
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