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开世定理

Wikipedia · 2026-06-22 维基百科 👁 1 阅读

在几何学中，开世定理是欧几里得几何学中的一个定理，可以看做是托勒密定理的一个推广结果。开世定理得名于爱尔兰数学家约翰·开世。

叙述
开世定理的背景是圆的内切圆。设有半径为\,R 的一个圆\,O，圆内又有四个圆\,O_1, O_2, O_3, O_4 内切于圆\,O（如右图）。如果将圆\,O_i, O_j 的外公切线的长度设为\,t_{ij}，那么开世定理声称，有下列等式成立。
:\,t_{12} \cdot t_{34}+t_{14} \cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}
可以注意到，如果四个内切的圆都退化成点的话，就会变成圆\,O 上的四个点，而开世定理中的等式也会化为托勒密定理。

证明
设大圆的圆心是点\,O；四个圆的圆心分别是点\,O_1, O_2, O_3, O_4，半径分别是\,R_1, R_2, R_3, R_4。每个圆与大圆\,O 的切点分别是\,K_1, K_2, K_3, K_4。

首先，根据勾股定理可以推出：对于任意的i 和j，都有
:\,t_{ij}^2=\overline{O_iO_j}^2-(R_i-R_j)^2 \qquad \qquad \qquad \cdots \, \, (1)
接下来的思路是将这个公式右边的各个长度用\,K_i,K_j 来表示。

考虑三角形\,O_iOO_j，根据三角形的余弦定理：
:\overline{O_iO_j}^2=\overline{OO_i}^2+\overline{OO_j}^2-2\overline{OO_i}\cdot \overline{OO_j}\cdot \cos\angle O_iOO_j \qquad \qquad \qquad \cdots \, \, (2)

由于每个圆\,O_i 都和大圆相切，所以：
:\overline{OO_i} = R - R_i,\, \angle O_iOO_j = \angle K_iOK_j

设点\,C 为大圆\,O 上的任意一点，根据三角形的正弦定理，在三角形\,K_iCK_j之中，有：
:\overline{K_iK_j} = 2R\cdot \sin\angle K_iCK_j = 2R\cdot \sin\frac{\angle K_iOK_j}{2}

所以，余弦式
:\cos\angle K_iOK_j = 1-2\sin^2\frac{\angle K_iOK_j}{2}=1-2\cdot \left(\frac{\overline{K_iK_j}}{2R}\right)^2 = 1 - \frac{\overline{K_iK_j}^2}{2R^2}

将以上\overline{OO_i} 与\cos\angle K_iOK_j 代入式子(2)中，就可以得到：

:\overline{O_iO_j}^2=(R-R_i)^2+(R-R_j)^2-2(R-R_i)(R-R_j)\left(1-\frac{\overline{K_iK_j}^2}{2R^2}\right)

:=(R-R_i)^2+(R-R_j)^2-2(R-R_i)(R-R_j)+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\overline{K_iK_j}^2}{R^2}

:=((R-R_i)-(R-R_j))^2+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\overline{K_iK_j}^2}{R^2}

:=(R_i-R_j)^2+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\overline{K_iK_j}^2}{R^2}

再代入式子(1)中，就得到t_{ij}的表达式：

:t_{ij}=\sqrt{\overline{O_iO_j}^2-(R_i-R_j)^2}=\frac{\sqrt{R-R_i}\cdot \sqrt{R-R_j}\cdot \overline{K_iK_j}}{R}

以上等式对所有的i 和j 都成立，因此只要注意到四边形 \,K_1K_2K_3K_4 是圆内接四边形，那么对其应用应用托勒密定理就可以得到开世定理：

:t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}=\frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4}\left(\overline{K_1K_2}\cdot \overline{K_3K_4}+\overline{K_1K_4}\cdot \overline{K_2K_3}\right)

:=\frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4}\left(\overline{K_1K_3}\cdot \overline{K_2K_4}\right)=t_{13}t_{24}

证明完毕。

推广
可以用类似的方法证明，只要当圆\,O_1, O_2, O_3, O_4 与大圆\,O 相切（不论是外切还是内切），就会有类似开世定理的等式成立。这是需要注明，对任意的i 和j：
:如果圆\,O_i, O_j 是与大圆\,O 以同样的方式相切（都是外切或者都是内切）的话，则\,t_{ij}表示两个圆的外公切线的长度；
:如果圆\,O_i, O_j 是与大圆\,O 以不同的方式相切（一个是外切而另一个是内切）的话，则\,t_{ij}表示两个圆的内公切线的长度。
另一个特点是：这定理的逆定理也成立。也就是说，如果开世定理的等式成立，那么这些圆必定以规定的方式与大圆相切。

应用
在欧几里得几何学中，开世定理可以用来证明多种不同的结论。比如说费尔巴哈定理的一个简洁证明中就用到了它。

注释
参考书籍

  • ，p.123-125 （1929年曾以《现代几何学》（modern geometry）之名出版。）.

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外部链接
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#几何定理 #圆 #数学定理 #欧几里得几何

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