换元积分法

换元积分法，又稱變數變換法（），是求积分的一种方法，由链式法则和微积分基本定理推导而来。

第一类换元法
设f(x)\ 为可积函数，g=g(x)\ 为连续可导函数，则有：

:
\int^\beta_\alpha f(g)g'\mathrm{d}x=\int^{g(\beta)}_{g(\alpha)}f(g)\mathrm{d}g

第一类换元法的基本思想是配凑的思想。

第二类换元法
设f(x)\ 为可积函数，x=x(g)\ 为连续可导函数，则有：

:\int^\beta_\alpha f(x)\mathrm{d}x=\int^{x^{-1}(\beta)}_{x^{-1}(\alpha)}f(x(g))x'\mathrm{d}g

在遇到类似\sqrt{x^2-a^2}、\sqrt{x^2+a^2}和\sqrt{a^2-x^2}的式子时，通常采取分别令x= \pm a\sec t、x= \pm a\tan t或x= \pm a\sin t进行换元，得到关于t的一个原函数。如果要计算不定积分，则再由x与t的关系还原即可；如果要计算定积分，只需在变换后的积分限\alpha和\beta下计算相应的定积分即可。

例子
计算积分\int^2_0x\cos(x^2+1)\,dx。

引入另外一個變數
設 u=x^2+1, 則 du=2xdx

當 x=0, u=1

當 x=2, u=5

:
\begin{align}
\therefore \int_0^2x\cos(x^2+1)dx &= \frac12\int_0^2{\underbrace{\cos ({{x}^{2}}+1)}_{\cos u}\cdot \underbrace{2xdx}_{du}}\\
&=\frac12\int_1^5\cos u\,du\\
&=\frac12\left[\sin u\right]_1^5\\
&=\frac12(\sin5-\sin1)
\end{align}

其中 dx 换元为 du 后，\int^2_0 亦变为 \int^5_1，是因为其形式为黎曼－斯蒂尔杰斯积分，但在黎曼－斯蒂尔杰斯积分中变数的取值范围应该还是 x 的取值范围，而不是 g(x) 的取值范围。

不引入另外一個變數
:
\begin{matrix}
\because & \displaystyle{\frac{d}{dx}({{x}^{2}}+1)=2x} \\
\therefore & d({{x}^{2}}+1)=2xdx \\
\end{matrix}

:
\begin{align}
\therefore \int_0^2x\cos(x^2+1)dx &= \frac12\int_0^2{\cos ({{x}^{2}}+1)\cdot 2xdx}\\
&=\frac12\int_0^2\cos (x^2+1)\,d(x^2+1)\\
&=\frac12\left[\sin (x^2+1)\right]_0^2\\
&=\frac12(\sin5-\sin1)
\end{align}

注释
参见
*分部积分法

Métodos de integración#Método de integración por sustitución