链式法则

-{zh-tw:連鎖律，亦可稱鏈式法則;zh-cn:链式法则，亦可称连锁律}-（），用于求合成函数的導數。

正式表述
兩函數 f 和 g 的定義域 (D_f 和 D_g) 、值域 (I_f 和 I_g) 都包含於實數系 \mathbb{R} ，若可以定義合成函數 g \circ f (也就是 I_f \cap D_g \neq \varnothing )，且 f 於 a\in D_f 可微分，且 g 於 f(a)\in I_f \cap D_g 可微分，則
:{(g \circ f)}^{\prime}(a) = g^{\prime}[f(a)] \cdot f^{\prime}(a)
也可以寫成
:\frac{dg[f(x)]}{dx}\bigg|_{x=a} = \frac{dg(y)}{dy}\bigg|_{y=f(a)} \cdot \frac{df}{dx}\bigg|_{x=a}

例子
求函数 f(x) = (x^2 + 1)^3的导数。

:设 g(x) = x^2 + 1
:h(g) = g^3 \to h(g(x)) = g(x)^3.
:f(x) = h(g(x))
:f'(x)=h'(g(x))g'(x)=3(g(x))^2(2x)=3(x^2+1)^2(2x)=6x(x^2+1)^2.

求函数 \arctan\,\sin\, x的导数。

:\frac{d}{dx}\arctan\,x\,=\,\frac{1}{1+x^2}
:\frac{d}{dx}\arctan\,f(x)\,=\,\frac{f'(x)}{1+f^2(x)}
:\frac{d}{dx}\arctan\,\sin\,x\,=\,\frac{\cos\,x}{1+\sin^2\,x}

证明
嚴謹的證明需要以下連續函數的極限定理：

f 和 g 都是实函数，若可以定義合成函數 g \circ f 且
:*\lim_{x\to a}f(x)=L
:*\lim_{y\to L}g(y)=g(L)
則有
:\lim_{x\to a}g[f(x)]=g(L)

只要展開極限的ε-δ定義，並考慮 f(x) 等於或不等於 L 的兩種狀況，這個極限定理就可以得証。

為了證明連鎖律，定義一個函數 G ，其定義域 D_G = D_g ， 而對應規則為
:G(y)=\begin{cases}
\displaystyle\frac{g(y)-g[f(a)]}{y-f(a)} & y\neq f(a) \\\\
g^{\prime}[f(a)] & y=f(a)
\end{cases}
和一個函數 F ，其定義域 D_F = D_f ， 而對應規則為
:F(x)=\begin{cases}
\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a} & x\neq a \\\\
f^{\prime}(a) & x=a
\end{cases}
這樣，考慮到 g \circ f 於 a 的導數是以下函數（定義域為D_{g\,\circ f} ）的極限
:\lim_{x\to a}\frac{g(y)-g[f(a)]}{x-a}=\lim_{x\to a}G[f(x)]\cdot F(x)
因為可微則必連續（根據乘法的極限性質），所以 f 於 a 連續、 G於 f(a) 連續，故根據上面的極限定理有
:\lim_{x\to a}G[f(x)]=g^{\prime}[f(a)]
而且針對一開始可微的前提有
:\lim_{x\to a}F(x)=f^{\prime}(a)
再根據乘法的極限性質有
:\lim_{x\to a}\frac{g(y)-g[f(a)]}{x-a}=g^{\prime}[f(a)]\cdot f^{\prime}(a)
即為所求。 \Box

多元复合函数求导法则
考虑函数z = f(x, y)，其中x = g(t)，y = h(t)，g(t)和h(t)是可微函数，那么：
:{\ dz \over dt}={\partial z \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial z \over \partial y}{dy \over dt}.

假设z = f(u, v)的每一个自变量都是二元函数，也就是说，u = h(x, y)，v = g(x, y)，且这些函数都是可微的。那么，z的偏导数为：
:{\partial z \over \partial x}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial x}

:{\partial z \over \partial y}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial y}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial y}.

如果我们考虑
:\vec r = (u,v)
为一个向量函数，我们可以用向量的表示法把以上的公式写成f的梯度与\vec r的偏导数的数量积：
:\frac{\partial f}{\partial x}=\vec \nabla f \cdot \frac{\partial \vec r}{\partial x}.

更一般地，对于从向量到向量的函数，求导法则为：
:\frac{\partial(z_1,\ldots,z_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_p)} = \frac{\partial(z_1,\ldots,z_m)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)} \frac{\partial(y_1,\ldots,y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_p)}.

高阶导数
复合函数的最初几个高阶导数为：
:\frac{d (f \circ g) }{dx} = \frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}
:
\frac{d^2 (f \circ g) }{d x^2}
= \frac{d^2 f}{d g^2}\left(\frac{dg}{dx}\right)^2

• \frac{df}{dg}\frac{d^2 g}{dx^2}

:
\frac{d^3 (f \circ g) }{d x^3}
= \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^3

• 3 \frac{d^2 f}{d g^2} \frac{dg}{dx} \frac{d^2 g}{d x^2}
• \frac{df}{dg} \frac{d^3 g}{d x^3}

:
\frac{d^4 (f \circ g) }{d x^4}
=\frac{d^4 f}{dg^4} \left(\frac{dg}{dx}\right)^4

• 6 \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^2 \frac{d^2 g}{d x^2}
• \frac{d^2 f}{d g^2} \left\{ 4 \frac{dg}{dx} \frac{d^3 g}{dx^3} + 3\left(\frac{d^2 g}{dx^2}\right)^2\right\}

• \frac{df}{dg}\frac{d^4 g}{dx^4}.

参见

• 乘积法则
• 除法定则