除法定则

除法定则或商定則（）是数学中关于两个函数的商的导数的一个计算定则。

若已知两个可導函数g, h及其导数g', h'，且h(x)\neq 0，则它们的商

:f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}

的导数为：

:f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}

例子
:\frac{4x-2}{x^2+1}的导数为：

:

:f(x)=\frac{2x^2}{x^3}的导数为：

证明
从牛顿差商推出
:设f(x) = \tfrac{g(x)}{h(x)}，h(x)\neq 0，且g和h均可导。

:f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x + \Delta x)}{h(x + \Delta x)} - \frac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x}

:= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \cdot \frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)}

:= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \cdot \frac{(g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)}

:= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \cdot \frac{h(x)(g(x+\Delta x)-g(x))-g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)}

:= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}h(x)-g(x)\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}{h(x)h(x+\Delta x)}

:= \frac{\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right)h(x) - g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\right)}{h(x)h(\lim_{\Delta x \to 0} (x+\Delta x))}

:= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}

从乘积法则推出
:假设f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}。

:那么g(x) = f(x)h(x) \mbox{ } \,

:g'(x)=f'(x)h(x) + f(x)h'(x)\mbox{ } \,

:f'(x)=\frac{g'(x) - f(x)h'(x)}{h(x)} = \frac{g'(x) - \frac{g(x)}{h(x)}\cdot h'(x)}{h(x)}

:f'(x)=\frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^2}

从复合函数求导法则推出
考虑恒等式，v≠0
: \frac{u}{v}\; =\; \frac{1}{4}\left[ \left( u+\frac{1}{v} \right)^{2}-\; \left( u-\frac{1}{v} \right)^{2} \right]

那么：

:\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left[ \left( u+\frac{1}{v} \right)^{2}-\; \left( u-\frac{1}{v} \right)^{2} \right]

于是：

:\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{1}{4}\left[ 2\left( u+\frac{1}{v} \right)\left( \frac{du}{dx}-\frac{dv}{v^{2}dx} \right)-\; 2\left( u-\frac{1}{v} \right)\left( \frac{du}{dx}+\frac{dv}{v^{2}dx} \right) \right]

展开，得：

:\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{1}{4}\left[ \frac{4}{v}\frac{du}{dx}-\frac{4u}{v^{2}}\frac{dv}{dx} \right]

最后，把分子和分母同除以4，便得：

:\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{\left[ v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx} \right]}{v^{2}}

参见
*乘法定则
*鏈式法則