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曲面积分

Wikipedia · 2026-04-23 维基百科 👁 2 阅读

数学上，曲面积分，也称为面积分（），是在曲面上的定积分（曲面可以是空间中的弯曲子集）；它可以视为和线积分相似的双重积分。给定一个曲面，可以在上面对标量场（也就是實数值的函数）进行积分，也可以对向量场（也就是向量值的函数）积分。

面积分在物理中有大量应用，特别是在电磁学的經典物理學中。

标量场的面积分
考虑定义在曲面S上的實函數 f，计算面积分的一个办法是将曲面分割成很多小片，假设函數 f 在每小片的變化不大，且每個小片的近似計算的面積跟實際面積誤差不大，任意取每片中函數 f 的值，然后乘以小片的近似面积，最后全部加起来得到一個值，當這種分割越來越細時，如果這值趨近一個實數，我們稱這个實數為實數值函數 f 在曲面 S 上的面積分。

要找到面积分的直接公式，首先需要参数化曲面S，也即在S上建立坐标系，就像球面上的经纬度。令参数化为x(s, t)，其中(s, t)在某个平面上的区域T中变化。则 f 在曲面 S 的面积分为

:
\iint_S f \,\mathrm{d}S
= \iint_T f(\mathbf{x}(s, t)) \left|\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right| \mathrm{d}s\, \mathrm{d}t

其中 \textstyle \left|\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right| 是x(s, t)的偏导数的外積這向量的長度，而 \textstyle \left|\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right|\mathrm{d}s\mathrm{d}t 在微分幾何裡又叫作流形 S 的面積元素（Surface element）。

例如，如果要找出某个函数（z=f\,(x,y)）形状的曲面面积，就有
:
A = \iint_S \,\mathrm{d}S
= \iint_T \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}\right| \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y

其中\mathbf{r}=(x, y, z)=(x, y, f(x,y))。所以，\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x}=(1, 0, f_x(x,y))，且\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}=(0, 1, f_y(x,y))。因此
:\begin{align}
A
&{} = \iint_T \left\|\left(1, 0, {\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0, 1, {\partial f \over \partial y}\right)\right\| \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y \\
&{} = \iint_T \left\|\left(-{\partial f \over \partial x}, -{\partial f \over \partial y}, 1\right)\right\| \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y \\
&{} = \iint_T \sqrt{\left({\partial f \over \partial x}\right)^3+\left({\partial f \over \partial y}\right)^3+1}\, \, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y
\end{align}
这就是一般以 (x,y,f(x,y)) 為參數的曲面其面积的標準公式。很容易认出第二行中的向量是曲面的法向量。

注意，因为外积的存在，這裡的公式只在曲面嵌入在三维空间中时适用。

向量场的面积分
考虑S上的向量场v，对于每个S上的点x，v(x)是一个向量。想象一个穿过S的液体流，使得v(x)决定液体在x的速度。则流量定义为单位时间穿过S的液体量。

这个解释意味着如果向量场和S在每点相切，则流量为0，因为液体平行于S流动，从而不进不出。这也意味着如果v不仅仅沿着S流动，也即，如果v既有切向分量也有法向分量，则只有法向分量对流量作出贡献。基于这个推理，要找出流量，我们必须取v和S上每点的单位法向量的点积，这就给出了一个标量场，然后就可以用上述方式积分。公式如下

:\int_S {\mathbf v}\cdot \,\mathrm{d}{\mathbf {S}} = \int_S ({\mathbf v}\cdot {\mathbf n})\,\mathrm{d}S=\iint_T {\mathbf v}(\mathbf{x}(s, t))\cdot \left({\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right) \mathrm{d}s\, \mathrm{d}t.

右手边的叉积是由参数化所决定的法向量。

该公式定义为向量场v在S上的面积分。

微分2-形式的面积分
令
: \omega= f_{x} \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z + f_{y} \mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}x+f_{z} \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y
为定义在曲面S上的2阶微分形式，并令

:\mathbf{x} (s,t)=( x(s,t), y(s,t), z(s,t))\!

为一保定向的在曲面 S 上的参数化，其中(s,t) \in D\subseteq \mathbb{R}^2。利用變數變換，则 \omega 在S上的面积分變成

:\iint_D \left[ f_{x} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)} + f_{y} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)}+ f_{z}(\mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)} \right]\, \mathrm{d}s \mathrm{d}t

其中
:{\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}=\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t))}\right)
为S的法向量。利用微分形式（2-form）的變數變換，我們有

:\int_S \omega=\iint_S (f_x, f_y, f_z)\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\iint_S (f_x, f_y, f_z)\cdot \mathbf{n}\, \mathrm{d}S

也就是說，對 \omega 該2-形式的积分和以f_x、f_y和f_z.为分量的向量场的面积分相同。

涉及面积分的定理
面积分中很多有用的结果可以用微分几何和向量微积分导出，例如散度定理及其推广斯托克斯定理。

进阶问题
注意面积分的定义中用到曲面S的参数化。而给定曲面可以有多种参数化。例如，如果移动球面上南极和北极的位置，所有球面上的点的经度和纬度都会改变。很自然就有面积分是否依赖于给定参数化的问题。对于标量场的积分，答案很简单：无论参数化为何，面积分不变。

对于向量场，情况复杂一些，因为積分時涉及到曲面的法向量。如果两个参数化下法向量的定向相同，则积分值不变。如果法向量定向相反，则积分值相反。因此，不需要規定特定的参数化，但是对于法向量，不同的参数化的定向必须保持一致。

另外一个问题是，有时曲面没有覆盖整个曲面的单一参数化；譬如对于有限长的圆柱面就是这样。一个直接的解决办法就是将曲面切成几片，在每一片上求面积分，然后加起来。这就是正确的办法，但是对向量场积分的时候，必须小心，要让每个小片的法向量定向和周围的一致。对于柱面来讲，也就是让所有片的法向量向外指。

最后一个问题是，有些曲面没有一个一致的法向量（譬如莫比乌斯带）。对于这样的曲面，无法找到一致的定向。这样的曲面称为不可定向的，在其上无法进行向量场的积分。

参看

  • 散度定理
  • 斯托克斯定理
  • 体积分
  • 不同坐标系下的体积和面积元

参考

  • Leathem, J. G. Volume and Surface Integrals Used in Physics. Cambridge, England: University Press, 1905

外部链接

#积分学 #向量分析

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