積分常數

積分常數是（）指在微積分中，函數的不定積分表示式中會出現的一個待定常數，一般會用 C 表示，一函數的反導數有無窮多個，但其中除了積分常數不同外，其餘部份均相同。

簡介
任何常數函數的導數均為零，因此只要發現一個函數的反導數F(x)，因為(F(x) + C)' = F\,'(x) + C\,' = F\,'(x)，加上或減去一常數 C 後的函數也是反導數，積分常數可用來表示任何函數均有無限個不同的反導數。

例如，假設需要求得 \cos(x)的反導數，\sin(x)、\sin(x)+1及\sin(x)-\pi的導數都是\cos(x)，因此都是\cos(x)的反導數。

同一個函數可以有許多的反導數，而這些反導數之間只相差一個常數，因此若要列出 \cos(x)所有的反導數，可以用以下的通式：
:\int \cos(x)\,dx = \sin(x) + C.

C 即為積分常數，利用下式可以確認這些函數的確都是\cos(x)的反導數：
:\begin{align}
\frac{d}{dx}[\sin(x) + C] &= \frac{d}{dx}[\sin(x)] + \frac{d}{dx}[C] \\
&= \cos(x) + 0 \\
&= \cos(x)
\end{align}

若利用線性代數的描述方式，微分算子可將k+1維的向量映射到k維的空間中，因此其反運算（積分）會多一個待確定的條件。

積分常數的必要性
積分常數可以設為0，而且利用微積分基本定理計算定積分時，積分常數會互相抵消，積分常數看似沒有必要。

不過試圖將積分常數設為0的作法不一定合理，例如2\sin(x)\cos(x)可以用以二種方式積分：

:\begin{align}
\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx &=& \sin^2(x) + C &=& -\cos^2(x) + 1 + C \\
\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx &=& -\cos^2(x) + C &=& \sin^2(x) - 1 + C
\end{align}

即使將 C 設為0，仍然有些積分表示式中會出現常數，也就是說有些函數不存在一種最簡單的反導數。

使用積分常數的另一個原因，是有時會需要反導數在特定點為某特定值，就像是初值問題的情形一様。例如要求出\cos(x)的反導數，且 x= \pi 時的值為100，此時 C 只有一個數值才能滿足此條件（此例中 C=100）。

上述限制可以用微分方程的形式來描述：求解一個函數f(x)的反導數也就是求解微分方程\frac{dy}{dx} = f(x)。任何微分方程都有許多的解，每一個解都是一個良態初值問題的唯一解。上一段的問題中 x= \pi 時的值為100即為初始條件。每一個初值問題對應一個唯一的 C 值，若沒有積分常數 C，許多初值問題就無法求解。

不同反導數之間只差一個常數的原因
原因可以用以下定理來表示：令F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}及G:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}為二個處處可微的函數。假設對於所有的實數 x，F\,'(x) = G\,'(x)都成立，則存在一實數 C 使得對於所有的實數 x，F(x) - G(x) = C皆成立。

若要證明此式，由於[F(x) - G(x)]' = 0，因此以下用 F-G 來代替 F，而用常數函數0來代替 G，待證明為一個處處可微，導數恆為0的函數一定是常數：

選擇一實數 a，令C = F(a)。針對任意的 x，依照微積分基本定理可得
:\begin{align}
\int_a^x 0\,dt &= F(x)-F(a)\\
&= F(x)-C,
\end{align}
因此可得F(x)=C，因此F為常數函數。

證明過程中，有二個條件相當重要。首先，實數數線為連通空間，若實數數線不是連通空間，就無法從固定的 a 點積分到任意的 x 點。例如一函數只在 [0,1] 及 [2,3] 的區間有定義，而 a 為0，因為函數在1到2之間沒有定義，不可能從0積分到3。此時會有二個常數，分別對應定义域中的二個連通空間。一般而言，若將常數改為s，可以將此定理延伸到不連通的空間中。例如\textstyle\int dx/x有二個積分常數，而\textstyle\int \tan x\,dx,有無限個積分常數。\frac{1}{x} 積分的一般式為：
:\int {1 \over x}\,dx = \begin{cases}\ln \left|x \right| + C^- & x 0
\end{cases}

再者，F 和 G 的條件需是處處可微的函數，若 F 及 G 在某一點不可微，則以上定理不成立。例如令F(x)单位阶跃函数，在 x 負值時為0，在 x 非負時為1，令G(x)=0。F 在有定義導數的區域，其導數為0，G 的導數恆為0，但 F 及 G 不只差一個常數而已。

甚至假設 F 及 G 為處處連續，幾乎處處可微，則以上定理仍然不成立。康托函數和常數函數0就是這樣的例子。

注释
參考資料