源与汇
在物質科學、工程学与数学中，“源与汇”（source and sink）是用来描述向量場性质的一个类比。它把流体的源与汇（例如浴缸的水龍頭与）这一概念推广到不同的科学领域。该术语用来描述向量场起始或终止的位置、区域或实体。讨论連續性方程式、场的散度以及散度定理时通常会用到这个类比。对于既不是源也不是汇的点，这一类比有时也包括“涡”（swirl）与“鞍（saddle）”。 对于電場而言，流的概念被場線所取代，而源与汇对应于電荷。 描述及流…
标签：#向量分析
共 36 篇文章
赝矢量
的線圈（黑色）會產生磁場（藍色）。若線圈的位置和電流都對應點線鏡面反射，其產生的磁場不會是原磁場的鏡面反射，會是原磁場反射後，再加以反向。線圈的位置和電流是向量，但產生的磁場是赝矢量]] 赝矢量（）也稱為偽向量，指的是在瑕旋轉下，除了隨之反射外，還会再上下翻轉的矢量（因為右手定則的關係）。矢量（极矢量）和赝矢量（轴矢量）都是广义上的矢量，在一般旋轉下的特性相同。但更严格地说，矢量还要求在瑕旋轉下，除了空间反演外，不會再改变方向。 在三維…
曲线积分
在数学中，线积分（）是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是被称为积分路径的特定曲线。 在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。當被積函數是純量函數時，积分的值是積分路径各点上的函数值乘上該點切向量的長度，在被积分函数是向量函数时，積分值是積分向量函数与曲线切向量的內積。在函數是純量函數的情形下，可以把切向量的絕對值（長度）看成此曲線把該點附近定義域的極小區間，在對應域內拉長了切向量絕對值的長度，這也是曲线积分与一般区间…
梯度
表示，越暗表示越大的数值，而其相应的梯度用藍色箭头表示。]] 在向量微积分中，梯度（）是一种关于多元导数的概括。平常的一元（单变量）函数的导数是标量值函数，而多元函数的梯度是向量值函数。多元可微函数f在点P上的梯度，是以f在P上的偏导数为分量的向量。 就像一元函数的导数表示这个函数图形的切线的斜率，如果多元函数在点P上的梯度不是零向量，則它的方向是这个函数在P上最大增长的方向、而它的量是在这个方向上的增长率。 梯度向量中的幅值和方向是与…
散度
度（）是向量分析中的一个向量算子，将向量空间上的一个向量场（矢量场）对应到一个标量场上。散度描述的是向量场里一个点是汇聚点还是发源点，形象地说，就是这包含这一点的一个微小体元中的向量是“向外”居多还是“向内”居多。 举例来说，考虑空间中的静电场，其空间里的电场强度是一个矢量场。正电荷附近，电场线“向外”发射，所以正电荷处的散度为正值，电荷越大，散度越大。负电荷附近，电场线“向内”，所以负电荷处的散度为负值，电荷越大，散度越小。向量值函數…
向量勢
{{about|向量域的数学理论中的一般概念|电磁学中的-{zh-tw:向量勢;zh-cn:矢势}-|磁矢势|流体力学中的-{zh-tw:向量勢;zh-cn:矢势}-|流量函数}} 向量微積分中，向量勢（），或稱向量位，是一個向量場，其旋度為一給定向量場。這情形類比於純量勢為一純量場，其負值梯度為一給定向量場。 形式上，給定一向量場 v，則向量勢為一向量場 A 使得 : \mathbf{v} = \nabla \times \mathb…
多極展開
在物理學裏，多極展開（）廣泛應用於涉及於質量分佈產生的重力場、電荷分佈產生的電勢或電場、電流分佈產生的磁向量勢和磁場、電磁波的傳播的問題。使用多極展開，重力場或電勢等等，都可以表達為單極項、偶極項、四極項、八極項及更多項的疊加。一個典型的例如是，從原子核的外部多極矩與電子軌域的內部多極矩之間的交互作用能量，計算求得原子的原子核外多極矩。原子核的外多極矩可以得出原子核內部的電荷分佈，因為物理學家可以藉此研究原子核的形狀。 做理論運算時，在…
向量算子
向量算子是指向量分析中使用的微分算子。向量算子使用Nabla算符定义，包括梯度、散度和旋度。 : \operatorname{grad} \equiv \nabla : \operatorname{div} \ \equiv \nabla \cdot : \operatorname{curl} \equiv \nabla \times 拉普拉斯算符表示为： : \nabla^2 \equiv \operatorname{div}\ \o…
极向–环向分解
在向量分析中，极向–环向分解（英文：poloidal–toroidal decomposition）是亥姆霍兹分解的一个受限制的形式，常用于螺线向量场在球坐标系下的分析，如磁场和不可压缩流体等。考虑一个三维向量场F满足 : \nabla \cdot \mathbf{F} = 0, 可以被表示为一个轴矢量场（toroidal vector field）和一个极矢量场（poloidal vector field）的和： : \mathbf{…
格林公式
在物理學與數學中，格林定理给出了沿封閉曲線 的線積分與以 為邊界的平面區域 上的雙重積分的联系。格林定理是斯托克斯定理的二維特例，以英國數學家喬治·格林（George Green）命名。 定理 设闭区域D由分段光滑的简单曲线 L围成，函数 P(x,y)及Q(x,y)在D上有一阶连续偏导数，则有 :\iint\limits_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{…
純量勢
純量勢（scalar potential）或稱純量位，在向量分析與物理學中是一個基本概念，将矢量场的无旋部分表示为标量场梯度，该标量场称为标量势。一般只要不會與向量勢發生混淆，前綴形容「純量」常省略，而簡稱「勢」或「位勢」。 給定一向量場F，其純量勢V為一純量場；對此純量場取負值梯度則得到F： : \mathbf{F} = - \nabla V 相反過來，給定一函數V，這個式子定義了一個向量場F，其純量勢為V。純量勢也常常標記為希臘字母…
高斯散度定理
高斯公式（Gauss's law），又称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem）、散度定理（Divergence Theorem）、高斯散度定理（Gauss's Divergence Theorem）、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式或高－奥公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过闭合曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。该定理与斯托克斯定理（Stokes' Theorem）是向量中两大重要定理。 更加…
亥姆霍兹分解
在物理学和数学中的向量分析中，亥姆霍兹定理， 或称向量分析基本定理， 指出对于任意足够光滑、快速衰减的三维向量场可分解为一个无旋向量场和一个螺线向量场的和，这个过程被称作亥姆霍兹分解。此定理以物理學家赫爾曼·馮·亥姆霍茲為名。 这意味着任何矢量场 ，都可以视为两个势场（純量勢 和向量勢 ）之和。 定理內容 假定 為定義在有界區域 裡的二次連續可微向量場，且 為 的包圍面，則 可被分解成無旋度及無散度兩部份： :\mathbf{F}=-\…
流速
流速，是流体的流动速度。当流速很小时，流体分层流动，互不混合，称为层流，或称为片流；逐渐增加流速，流体的流线开始出现波浪状的摆动，摆动的频率及振幅随流速的增加而增加，此种流况称为过渡流；当流速增加到很大时，流线不再清楚可辨，流场中有许多小漩涡，称为湍流，又称为乱流、扰流或紊流。 这种变化可以用雷诺数来量化。雷诺数较小时，黏滞力对流场的影响大于惯性力，流场中流速的扰动会因黏滞力而衰减，流体流动稳定，为层流；反之，若雷诺数较大时，惯性力对流…
螺線向量場
在向量分析中，一螺線向量場（solenoidal vector field）是一種向量場v，其散度為零： : \nabla \cdot \mathbf{v} = 0 \, 。 性质 此條件被滿足的情形是若當v具有一向量勢A，即 :\mathbf{v} = \nabla \times \mathbf{A} 成立時，則原來提及的關係 :\nabla \cdot \mathbf{v} = \nabla \cdot (\nabla \times…
格林恆等式
格林恆等式（）乃是向量分析的一組共三條恆等式，以發現格林定理的英國數學家喬治·格林命名。 格林第一恆等式 設定向量場\mathbf{F}=\psi \nabla \phi ；其中，在\mathbb{R}^3的某區域\mathbb{U}內，\phi是二次連續可微標量函數，\psi是一次連續可微標量函數，則從散度定理， : \int_\mathbb{U} \nabla\cdot\mathbf{F} \, \mathrm{d}V = \oin…