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极向–环向分解

Wikipedia · 2024-09-29 维基百科 👁 0 阅读

在向量分析中，极向–环向分解（英文：poloidal–toroidal decomposition）是亥姆霍兹分解的一个受限制的形式，常用于螺线向量场在球坐标系下的分析，如磁场和不可压缩流体等。考虑一个三维向量场F满足
: \nabla \cdot \mathbf{F} = 0,
可以被表示为一个轴矢量场（toroidal vector field）和一个极矢量场（poloidal vector field）的和：
: \mathbf{F} = \mathbf{T} + \mathbf{P} = \nabla \times \Psi \mathbf{r} + \nabla \times (\nabla \times \Phi \mathbf{r}),
其中 \mathbf{r} 是球坐标 (r,\theta,\phi) 中的径向矢量，纵场 \mathbf{T} 为
: \mathbf{T} = \nabla \times \Psi \mathbf{r}
\Psi (r,\theta,\phi)为一标量场，[[#cite_note-FOOTNOTEBackus198687-2|[2]]]横场 \mathbf{P} 为
: \mathbf{P} = \nabla \times \nabla \times \Phi \mathbf{r}
\Phi (r,\theta,\phi)为一标量场。这一向量分解法是对称的，因为纵场的旋度是横场，而横场的旋度是纵场。纵场与球心在原点的球面相切
: \mathbf{r} \cdot \mathbf{T} = 0 ,
而横场的旋度同样地与这些球面相切
: \mathbf{r} \cdot (\nabla \times \mathbf{P}) = 0 .
若标量场 \Psi 和 \Phi 的平均值在任意半径为 r 的球面上都等于零，则这一分解方式是唯一的。

另见
*

脚注
参考资料

#向量分析

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