高斯公式（Gauss's law），又称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem）、散度定理（Divergence Theorem）、高斯散度定理（Gauss's Divergence Theorem）、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式或高－奥公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过闭合曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。该定理与斯托克斯定理（Stokes' Theorem）是向量中两大重要定理。
更加精确地说，高斯公式说明向量场穿过曲面的通量，等于散度在曲面圍起來的體積上的积分。直观地，所有源点的和减去所有汇点的和，就是流出這区域的淨流量。
高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果，特别是静电学和流体力学。
在物理和工程中，散度定理通常运用在三维空间中。然而，它可以推广到任意维数。在一维，它等价于分部积分法。
定理
设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围起來的三維區域，函数P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)在\Omega上具有一阶连续偏导数，则有
:{{oiint
| preintegral = \iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}v=
| intsubscpt = \scriptstyle \Sigma
| integrand = P\,\mathrm{d}y\land \mathrm{d}z+Q\,\mathrm{d}z\land \mathrm{d}x+R\,\mathrm{d}x\land \mathrm{d}y
}}
或
:{{oiint
| preintegral = \iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}v=
| intsubscpt = \scriptstyle \Sigma
| integrand = (P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,\mathrm{d}S
}}
这里\Sigma是\Omega的边界（boundary），\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma是\Sigma在点(x,y,z)处的單位法向量的方向余弦。
这两个公式都叫做高斯公式，不過這兩公式僅僅是表達方式不同，其實是相同的定理，這可以用變數變換得到兩公式的右邊都等於 \iint_\Sigma (P,Q,R)\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}S，其中 \mathbf{n} 是曲面 \Sigma 的向外單位法向量。
这个定理是更一般的斯托克斯公式的特殊情形。
用散度表示
高斯公式用散度表示为：
:{{oiint
| preintegral = \iiint_{\Omega}\mathrm{div}\mathbf{F}\,\mathrm{d}v=
| intsubscpt = \scriptstyle \Sigma
| integrand = \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}S .
}}
其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面，而 \mathbf{n} 是曲面Σ上的朝外的單位法向量。
用向量表示
令V代表有一简单闭曲面S为边界的体积，\mathbf{F}是定义在V中和S上连续可微的向量场。如果d\mathbf{S}是外法向向量面元，则
:\int_S \mathbf{F}\cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=\int_V \nabla\cdot\mathbf{F}\mathrm{d}V
推论
对于标量函数g*和向量场F的积，应用高斯公式可得：
::
\iiint_V\left(\mathbf{F}\cdot \left(\nabla g\right) + g \left(\nabla\cdot \mathbf{F}\right)\right) \mathrm{d}V
= \iint_{\partial V}g \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}
*对于两个向量场\mathbf{F}\times \mathbf{G}的向量积，应用高斯公式可得：
::\iiint_V \left(\mathbf{G}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{F}\right) - \mathbf{F}\cdot \left( \nabla\times\mathbf{G}\right)\right)\, \mathrm{d}V = \iint_{\partial V}\left(\mathbf{F}\times\mathbf{G}\right)\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}
对于标量函数f*和非零常向量的积，应用高斯公式可得：
::\iiint_V \nabla f\, \mathrm{d}V = \iint\limits_{\partial V} f \,\mathrm{d}\mathbf{S}
*对于向量场F和非零常向量的向量积，应用高斯公式可得：
::\iiint_V \nabla\times\mathbf{F}\, \mathrm{d}V = \iint_{\partial V}\mathrm{d}\mathbf{S} \times\mathbf{F}.
例子
假设我们想要计算
:{{oiint
| intsubscpt = \scriptstyle S
| integrand = \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} \, \mathrm{d}S,
}}
其中是一个单位球面，定义为
:S = \left \{ x,y, z \in \mathbb{R}^3 \ : \ x^2+y^2+z^2 = 1 \right \}.
F是向量场
:\mathbf{F} = 2 x\mathbf{i}+y^2\mathbf{j}+z^2\mathbf{k}.
直接计算这个积分是相当困难的，但我们可以用高斯公式来把它简化：
:
\iiint_W (\nabla \cdot \mathbf{F})\,\mathrm{d}V
= 2\iiint_W (1 + y + z)\,\mathrm{d}V
= 2\iiint_W \mathrm{d}V + 2\iiint_W y\,\mathrm{d}V + 2\iiint_W z\,\mathrm{d}V.
其中是单位球:
:W = \left \{ x,y, z \in \mathbb{R}^3 \ : \ x^2+y^2+z^2\leq 1 \right \}.
由于函数和是奇函数，我们有：
:\iiint_W y\, \mathrm{d}V = \iiint_W z\, \mathrm{d}V = 0.
因此：
:{{oiint
| intsubscpt = \scriptstyle S
| integrand = \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}S = 2\iiint_W\, \mathrm{d}V = \frac{8\pi}{3},
}}
因为单位球的体积是.
二阶张量的高斯公式
二阶张量的高斯公式实际上是上面的高斯公式的推论。为了使内容完整，首先简要地介绍三维欧几里得空间上的二阶张量（详见并矢张量或张量积）以及相关的概念和记号。在这里，向量和向量场用黑斜体字母表示，张量用正黑体字母表示。
两个向量\boldsymbol{a}和\boldsymbol{b}并排放在一起所形成的量\boldsymbol{ab}被称为向量\boldsymbol{a}和\boldsymbol{b}的并矢或并矢张量。要注意，一般来说，\boldsymbol{ab} \neq \boldsymbol{ba}。
\boldsymbol{ab} = 0的充分必要条件是\boldsymbol{a} = 0或\boldsymbol{b} = 0。
二阶张量就是有限个并矢的线性组合。
\boldsymbol{ab}分别线性地依赖于\boldsymbol{a}和\boldsymbol{b}。
二阶张量\mathbf{T}和向量\boldsymbol{a}的縮併\mathbf{T} \cdot \boldsymbol{a}以及\boldsymbol{a} \cdot \mathbf{T}对 \mathbf{T}和\boldsymbol{a}都是线性的。
特别是，当\mathbf{T} = \boldsymbol{uv}时，
:
\mathbf{T} \cdot \boldsymbol{a} = (\boldsymbol{uv}) \cdot \boldsymbol{a}
= \boldsymbol{u} (\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{a})
\, , \qquad
\boldsymbol{a} \cdot \mathbf{T} = \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{uv})
= (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{u}) \, \boldsymbol{v}
,
所以，一般说来，\mathbf{T} \cdot \boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{a} \cdot \mathbf{T}。
下面举一个例子：用二阶张量及其与向量的縮併来重新写(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c}和\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})。
:
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c}
= (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \, \boldsymbol{b}
- (\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) \, \boldsymbol{a}
= - (\boldsymbol{ab} - \boldsymbol{ba}) \cdot \boldsymbol{c}
\, , \qquad
\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})
= (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \, \boldsymbol{b}
- (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \, \boldsymbol{c}
= - \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{bc} - \boldsymbol{cb})
\, .
我们还用到二阶张量\mathbf{T}的转置\mathbf{T}'（又可以记为\mathbf{T}^{\mathrm{t}}），定义如下：
\mathbf{T}'仍然是一个二阶张量，并且线性地依赖于\mathbf{T}。
(\boldsymbol{uv})' = \boldsymbol{vu}。
定理：设 V是三维欧几里得空间中的一个有限区域，S是它的边界曲面，\hat{\boldsymbol{n}}是S的外法线方向上的单位向量，\mathbf{T}是定义在V的某个开邻域上的C^1连续的二阶张量场，\mathbf{T}'是\mathbf{T}的转置，则
:
\iint_S \hat{\boldsymbol{n}} \cdot \mathbf{T} \, \mathrm{d}S
= \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{T} \, \mathrm{d}V
\, , \qquad
\iint_S \mathbf{T} \cdot \hat{\boldsymbol{n}} \, \mathrm{d}S
= \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{T}' \, \mathrm{d}V
\, .
证明：下面以第二个式子为例进行证明。令第二个式子的左边为\boldsymbol{F}，则
:
\boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{F}
= \boldsymbol{e}_i \cdot \iint_S \mathbf{T} \cdot \hat{\boldsymbol{n}} \, \mathrm{d}S
= \iint_S \boldsymbol{e}_i \cdot \mathbf{T} \cdot \hat{\boldsymbol{n}} \, \mathrm{d}S
= \iint_S T^{ij} \boldsymbol{e}_j \cdot \hat{\boldsymbol{n}} \, \mathrm{d}S
\, .
接下来利用向量场的高斯公式，可得
:
\boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{F}
= \iiint_V \nabla \cdot (T^{ij} \boldsymbol{e}_j) \, \mathrm{d}V
= \iiint_V \frac{\partial T^{ij}}{\partial x^j} \, \mathrm{d}V
\, ,
于是
:
\boldsymbol{F} = \boldsymbol{e}_i \, (\boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{F})
= \boldsymbol{e}_i \iiint_V \frac{\partial T^{ij}}{\partial x^j} \, \mathrm{d}V
= \iiint_V \boldsymbol{e}_i \frac{\partial T^{ij}}{\partial x^j} \, \mathrm{d}V
= \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{T}' \, \mathrm{d}V
\, .
至此证毕。
参阅
*格林定理
*斯托克斯定理
参考文献
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