格林恆等式

格林恆等式（）乃是向量分析的一組共三條恆等式，以發現格林定理的英國數學家喬治·格林命名。

格林第一恆等式
設定向量場\mathbf{F}=\psi \nabla \phi ；其中，在\mathbb{R}^3的某區域\mathbb{U}內，\phi是二次連續可微標量函數，\psi是一次連續可微標量函數，則從散度定理，
: \int_\mathbb{U} \nabla\cdot\mathbf{F} \, \mathrm{d}V = \oint_{\partial \mathbb{U}} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\, \mathrm{d}S，

可以推導出格林第一恆等式：
: \int_\mathbb{U}(\psi \nabla^2 \phi+\nabla \phi \cdot \nabla \psi)\, \mathrm{d}V = \oint_{\partial \mathbb{U}} \psi{\partial \phi \over \partial n}\, \mathrm{d}S；

其中，\partial \mathbb{U}是區域\mathbb{U}的邊界，\frac{\partial}{\partial n}是取於邊界面\partial \mathbb{U}的法向導數，即\frac{\partial\phi}{\partial n}= \nabla \phi \cdot \mathbf{n}。

格林第二恆等式
假若在區域\mathbb{U}內，\phi和\psi都是二次連續可微，則可交換\phi與\psi，從(\psi,\phi)的格林第一恆等式得到(\phi,\psi)的格林第一恆等式。將這兩個恆等式相減，則可得到格林第二恆等式：
: \int_\mathbb{U} \left( \psi \nabla^2 \phi - \phi \nabla^2 \psi\right)\, \mathrm{d}V = \oint_{\partial \mathbb{U}} \left( \psi {\partial \phi \over \partial n} - \phi {\partial \psi \over \partial n}\right)\, \mathrm{d}S。

格林第三恆等式
假設函數G是拉普拉斯方程式的基本解（）：
: \nabla^2 G(\mathbf{x},\mathbf{x}') = \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}')；

其中，\delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}')是狄拉克δ函數。

例如，在R3，基本解的形式為
:G(\mathbf{x},\mathbf{x}')={-1 \over 4 \pi\|\mathbf{x} - \mathbf{x}' \|}。

函數G稱為格林函數。對於變數\mathbf{x}與\mathbf{x}'的交換，格林函數具有對稱性，即G(\mathbf{x},\mathbf{x}') =G(\mathbf{x}',\mathbf{x}) 。

設定\phi=G，在區域\mathbb{U}內，\psi是二次連續可微。假若\mathbf{x}在積分區域\mathbb{U}內，則應用狄拉克δ函數的定義，
: \psi(\mathbf{x} ) - \int_\mathbb{U} \left[ G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) \nabla'^{\,2} \psi(\mathbf{x}')\right]\, \mathrm{d}V'= \oint_{\partial \mathbb{U}} \left[\psi(\mathbf{x}') {\partial G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) \over \partial n'} - G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) {\partial \psi(\mathbf{x}') \over \partial n'} \right] \, \mathrm{d}S'；

其中，dV'、dS'分別積分\mathbf{x}'於\mathbb{U}

這是格林第三恆等式。假若\psi是調和函數，即拉普拉斯方程式的解：
: \nabla'^{\,2} \psi(\mathbf{x}')=0，

則這恆等式簡化為
: \psi(\mathbf{x}) = \oint_{\partial \mathbb{U}} \left[\psi(\mathbf{x}') {\partial G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) \over \partial n'} - G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) {\partial \psi(\mathbf{x}') \over \partial n'} \right] \, \mathrm{d}S'。

參閱
*向量恆等式列表
*數學恆等式列表 ()
*向量微積分恆等式 ()

參考文獻