格林公式

在物理學與數學中，格林定理给出了沿封閉曲線 的線積分與以  為邊界的平面區域  上的雙重積分的联系。格林定理是斯托克斯定理的二維特例，以英國數學家喬治·格林（George Green）命名。

定理
设闭区域D由分段光滑的简单曲线 L围成，函数 P(x,y)及Q(x,y)在D上有一阶连续偏导数，则有

:\iint\limits_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x \mathrm{d}y =\oint_{L^{+}}(P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y)

其中L^+是D的取正向的边界曲线。

此公式叫做格林公式，它给出了沿着闭曲线L的曲线积分与L所包围的区域D上的二重积分之间的关系。另见格林恆等式。格林公式还可以用来计算平面图形的面积。

D 为一个简单区域时的证明
以下是特殊情况下定理的一个证明，其中D是一种I型的区域，C2和C4是竖直的直线。对于II型的区域D，其中C1和C3是水平的直线。

如果我们可以证明

:\int_{C} L\, \mathrm{d}x = \iint_{D} \left(- \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, \mathrm{d}A\qquad\mathrm{(1)}

以及

:\int_{C} M\, \mathrm{d}y = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x}\right)\, \mathrm{d}A\qquad\mathrm{(2)}

那么就证明了格林公式是正确的。

把右图中I型的区域D定义为：

:D = \{(x,y)|a\le x\le b, g_1(x) \le y \le g_2(x)\}

其中g1和g2是区间[a, b]内的连续函数。计算(1)式中的二重积分：

:

现在计算(1)式中的曲线积分。C可以写成四条曲线C1、C2、C3和C4的并集。

对于C1，使用参数方程：。那么：

:\int_{C_1} L(x,y)\, \mathrm{d}x = \int_a^b \Big\{L(x,g_1(x))\Big\}\, \mathrm{d}x

对于C3，使用参数方程：x = x,\, y = g_1(x),\,a \leq x \leq b。那么：

: \int_{C_3} L(x,y)\, \mathrm{d}x = -\int_{-C_3} L(x,y)\, \mathrm{d}x = - \int_a^b [L(x,g_2(x))]\, \mathrm{d}x

沿着C3的积分是负数，因为它是沿着反方向从b到a。在C2和C4上，x是常数，因此：

: \int_{C_4} L(x,y)\, \mathrm{d}x = \int_{C_2} L(x,y)\, \mathrm{d}x = 0

所以：

:

(3)和(4)相加，便得到(1)。类似地，也可以得到(2)。

应用
计算区域面积
使用格林公式，可以用线积分计算区域的面积。因为区域D的面积等于A = \iint_{D}dA，所以只要我们选取适当的L与M使得\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} = 1，就可以通过A = \oint_{C} (L\, \mathrm{d}x + M\, \mathrm{d}y)来计算面积。

一种可能的取值是A=\oint_{C} x\,\mathrm{d}y = -\oint_{C} y\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \oint_{C}x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x。

参见
*高斯公式
*斯托克斯公式
*格林函數

参考文献