在物理學裏，多極展開（）廣泛應用於涉及於質量分佈產生的重力場、電荷分佈產生的電勢或電場、電流分佈產生的磁向量勢和磁場、電磁波的傳播的問題。使用多極展開，重力場或電勢等等，都可以表達為單極項、偶極項、四極項、八極項及更多項的疊加。一個典型的例如是，從原子核的外部多極矩與電子軌域的內部多極矩之間的交互作用能量，計算求得原子的原子核外多極矩。原子核的外多極矩可以得出原子核內部的電荷分佈，因為物理學家可以藉此研究原子核的形狀。
做理論運算時，在允許的誤差範圍內，時常可以只取多極展開的最低階的幾個非零項目，忽略其它項目，因為它們的數值極小。
電勢的多極展開式
在靜電學裏，設定電荷密度分佈 \rho(\mathbf{r}') ，則其產生的電勢 \Phi(\mathbf{r}) 為
:\Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V'}} \frac{\rho(\mathbf{r}')}\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' ；
其中，\mathbf{r} 是場位置，\mathbf{r}' 是源位置，\mathbb{V'} 是積分的體積區域。
假設體積區域 \mathbb{V'} 是在以原點為圓心、半徑為 R 的圓球內部，則在圓球以外，電勢 \Phi(\mathbf{r}) 可以多極展開。文獻裏常見到兩種電勢的多極展開方法。一種展開為直角坐標 (x,y,z) 的泰勒級數，稱為「笛卡兒多極展開」（）；另一種是用距離倒數的冪和球諧函數展開，是以球坐標表示，稱為「球多極展開」（）。
笛卡兒多極展開
任意函數 f(\mathbf{r}') 在原點 \mathbf{r}'=\mathbf{O} 的泰勒級數為
:f(\mathbf{r}')=f(\mathbf{O})+\mathbf{r}'\cdot\nabla' f(\mathbf{O})+\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^3 \sum_{\beta=1}^3 r'_{\alpha}r'_{\beta} \frac{\partial^2 f(\mathbf{O})}{\partial r'_{\alpha}\partial r'_{\beta}}+\dots ；
其中，\nabla' 是對於 \mathbf{r}' 的偏微分。
設定 f(\mathbf{r}')=\frac{1} ，則 f(\mathbf{r}') 對於 \mathbf{r}' 的偏微分為
:\frac{\partial f(\mathbf{r}')}{\partial r'_{\alpha}}=\frac{(r_{\alpha} - r'_{\alpha})} 在原點 \mathbf{r}'=\mathbf{O} 的泰勒級數為
:\begin{align} \frac{1} & =\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^3}
+\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^3 \sum_{\beta=1} ^3 \left(\frac{3r_{\alpha}r_{\beta}}{r^5} - \frac{\delta_{\alpha\beta}}{r^3}\right)r'_{\alpha}r'_{\beta} +\dots \\
& =\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^3}
+\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^3 \sum_{\beta=1} ^3 \left(\frac{3r_{\alpha}r_{\beta}r'_{\alpha}r'_{\beta} - r^2r'_{\alpha}r'_{\beta}\delta_{\alpha\beta}}{r^5}\right) +\dots \\
& =\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^3}
+\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^3 \sum_{\beta=1} ^3 \left(\frac{3r_{\alpha}r_{\beta}r'_{\alpha}r'_{\beta} - r_{\alpha}r_{\beta}r^{\prime 2}\delta_{\alpha\beta}}{r^5}\right) +\dots \\
\end{align} 。
將這展開式代入電勢的方程式，則可得到
:\Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V'}}
\left[\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^3}
+\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^3\sum_{\beta=1}^3 \frac{r_\alpha r_\beta (3 r'_\alpha r'_\beta - r^{\prime 2}\delta_{\alpha\beta})}{r^5}+\dots\right] \rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' 。
總電荷（電單極矩） q 、電偶極矩 \mathbf{p} 、電四極矩（） Q_{\alpha\beta} 分別以方程式定義為
:q\stackrel{def}{=}\ \int_{\mathbb{V'}}\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' 、
:\mathbf{p}\stackrel{def}{=}\ \int_{\mathbb{V'}}\mathbf{r}'\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' 、
:Q_{\alpha\beta}\stackrel{def}{=}\ \int_{\mathbb{V'}}(3 r'_\alpha r'_\beta - r^{\prime 2}\delta_{\alpha\beta})\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' 。
則電勢的電單極矩、電偶極矩、電四極矩等等「笛卡兒多極矩」項目的總貢獻為
:\Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{q}{r}+\frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}{r^3}
+\frac{1}{2r^5}\sum_{\alpha=1}^3\sum_{\beta=1}^3 Q_{\alpha\beta}r_\alpha r_\beta +\dots\right) 。
球多極展開
場位置與源位置之間距離的倒數，\frac{1} ，可以用球諧函數 Y_{\ell m} 展開為。快速多極法就是建構於格林函數的多極展開。這方法的基本點子是分解所有粒子為幾個小群，每一個小群內的粒子正常地互相作用（即通過全部勢能），而小群與小群之間的互相作用則是由其多極矩計算求得。快速多極矩法的效率通常與伊沃德求和法（）等同，但是假若系統的粒子具有高度群聚性，即高密度漲落，則快速多極矩法比較優等。
參閱
- 圓柱多極矩（）
- 四極磁鐵（）：粒子加速器內部的一個配件
- 拉普拉斯展開（位勢論）（）
- 勒讓德多項式
參考文獻
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