同胚 · 茶年 · 中文维基百科

曾說：拓撲學家為不知甜甜圈與咖啡杯之分別者。]]

在拓扑学中，同胚（）是两个拓扑空间之间的双连续函数。同胚是拓扑空间范畴中的同构；也就是说，它们是保持给定空间的所有拓扑性质的映射。如果两个空间之间存在同胚，那么这两个空间就称为同胚的，从拓扑学的观点来看，两个空间是相同的。

拓扑空间是一个几何物体，同胚就是把物体连续延展和弯曲，使其成为一个新的物体。因此，正方形和圆是同胚的，但球面和环面就不是。有一个笑话是说，拓扑学家不能区分咖啡杯和甜甜圈，这是因为一个足够柔软的甜甜圈可以捏成咖啡杯的形状（见图）。

定义
如果两个拓扑空间 (X,\tau_X) 和 (X,\tau_Y) 之间的函数 f: X\to Y 具有下列性质：

则称 (X,\tau_X) 和 (Y,\tau_Y) 同胚，它满足以上三个性质的函数有时称为双连续。自同胚就是从一个拓扑空间到它本身的同胚；由自同胚和复合运算所组成的群称为同胚群。同胚形成了所有拓扑空间的类上的等价关系。所得到的等价类称为同胚类。

例子
与圆环同胚。虽然这表面上不合理，但是在四维空间中很容易把三叶结连续变形成一个圆。]]

\mathbb{R}^2 内的单位圆盘 D^2 和单位正方形是同胚的。
开区间 (0,1) 与实直线 \mathbb{R} 同胚。
一维球面的积空间 S^1\times S^1 与二维环面同胚。
每一个一致同构和等距同构都是同胚。
任何二维球面去掉一个点都与 \mathbb{R}^2 中的所有点所组成的集合（二维平面）同胚。
设 A 为一个有单位的交换环，并设 S 为 A 的乘法子集。那么Spec (A_S)与 \{ p \in \textrm{Spec } A : p \cap S = \emptyset \} 同胚。
当 n\neq m 时，\mathbb{R}^{n} 不与 \mathbb{R}^{m} 同胚。
一个连续和双射但不是同胚的函数的例子，是把半开区间 [0,1) 缠绕到圆上的映射。在这个情况中，逆映射虽然存在，但不是连续的。

性质

同胚是拓扑空间范畴中的同构。因此，两个同胚的复合映射也是同胚，且所有自同胚 \{f:X\to X|f \text{ 是同构}\} 形成了一个群，称为X的自同胚群，通常记为 \operatorname{Homeo}(X)。
两个同胚的空间具有相同的拓扑性质。例如，如果其中一个是紧空间，那么另外一个也是紧空间；如果其中一个是连通空间，那么另外一个也是连通空间，等等。然而，这不能推广到通过度量所定义的性质；如果两个度量空间是同胚的，那么仍然有可能其中一个是完备的，而另外一个不是。
同胚既是开映射又是闭映射，也就是说，它把开集映射到开集，把闭集映射到闭集。
每一个 S^1 的自同胚都可以延伸到整个圆盘 D^2 的自同胚。

注释
参见
*局部同胚
*微分同胚
*一致同构（一致空间的同构）
*等距同构（度量空间的同构）
*同胚 (图论)（与图的剖分有密切联系）
*同痕
*映射类群

外部链接
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