连续函数
连续函数（）是指函数在数学上的属性为连续。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。 如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续函数，或者说具有不连续性。非连续函数一定存在间断点。 举例来说，考虑描述一棵树的高度随时间而变化的函数h(t)，那么这个函数是连续的（除非树被砍断）。又例如，假设T(P)表示地球上某一点P的空气温度，则这个函数也是连续…
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伯努利数
白努利數 是一個数学分析中常见的有理數序列。前21个伯努利数的值列于右表。其中上標 ± 在本文中用來區別兩種不同的白努利數定義，這兩種定義只对n=1有区别：B^{-{}}_1=-1/2，B^{+{}}_1=+1/2。 符号 ，而，是美國國家標準技術研究所（NIST）和大多数现代教科书的符号约定。 ，而，在较早的文献中被使用。 由於對所有大於的奇數 ，白努利數 ，且許多公式中僅使用偶數項的白努利數，一些作者可能會用來代表 ，不過本文不會如…
博雷爾集
博雷尔集，又稱Borel集，是群特殊的子集合，這群子集合的整體是任何內涵某指定的拓扑空间的所有开集中最小的Σ-代数。所以博雷尔集的全体又称为博雷尔代数或者博雷尔σ-代数。博雷尔集是由埃米尔·博雷尔的名字命名的。 博雷尔集在测度论中有着重要的意义，因为任何空间上的开集（或者闭集）上定义的测度，必然可以将定义延拓到空间所有的博雷尔集上。定义在博雷尔集上的测度被称为博雷尔测度。博雷尔集和相关的博雷尔分层在描述集合论中也起着基础性的作用。 某些…
低維拓撲
在数学中，低维拓扑是拓扑学中研究二、三、四维流形或更广义的拓扑空间的一个分支。有代表性的研究主题包括三维流形、、扭结和辫群等的结构理论。低维拓扑是几何拓扑学的一部分。 历史 自1960年起，一系列的论文逐渐引起了数学界对低维拓扑的关注。1961年，斯梅尔（）证明了在五维以上，庞加莱猜想是成立的。对于一维二维的庞加莱猜想，人们早已熟知。于是在当时，三维四维的庞加莱猜想似乎是最难以证明的，因为在高维度中所使用的证明方法并不适用于三维四维的情…
极限
极限可以指： 數學 极限 (数学) 函數極限 数列极限 網 (數學) 极限 (范畴论) 极限点 上极限和下极限 流行文化 極限 (專輯)，徐佳瑩的專輯 Limit 界限，末延景子的漫畫作品 極限運動
量子拓扑
量子拓扑（）是连接量子力学与低维拓扑的数学分支。 狄拉克符号给出了量子力学的一种观点，被推广成为可以包含拓扑空间相关振幅和空间之间的相关嵌入的框架，例如三维空间中的和。狄拉克符号对右矢和左矢的表示，可以被泛化成映射，表示与允许张量积的拓扑空间有关的向量空间。 涉及和辫群的拓扑拓扑也可以直观地与量子纠缠连接起来。 参见 拓扑量子场论 参考资料 外部链接 * [https://www.ems-ph.org/journals/journal.…
拓樸交換群
在數學上，拓樸交換群（）是一類同時是拓樸群和交換群的群；換句話說，一個拓樸群同時是群和拓樸空間，在其中這群的運算是連續的，而其二元運算則滿足交換律。 適用於拓樸群也可用於拓樸交換群上，但拓樸交換群上可做的更多。特別地，局部緊拓樸交換群大量出現在調和分析的研究中。 參見 ，緊緻連通的拓樸交換群 拓樸域 拓樸群 拓樸模 拓樸環 拓樸半群 拓樸向量空間 參考資料 Fourier analysis on Groups, by Walter Ru…
子基
子基（）是拓撲學的一種概念，具有拓扑结构\tau的拓扑空间X的子基B是\tau的一個子集合，使得B能夠生成\tau。\tau是最小能夠包含B的拓扑結構。一個拓撲可以有不同的子基，但由子基確定唯一的拓撲。 參考來源 外部參考 *[http://chowkafat.net/Math/Topological_space.pdf 數學示例：拓撲空間]
奥斯瓦尔德·维布伦几何学奖
奥斯瓦尔德·维布伦几何学奖（）是美国数学学会的奖项，设立于1961年，旨在奖励几何学或拓扑学领域重要的研究。维布伦奖的设立是为了纪念奥斯瓦尔德·维布伦，现在的奖金为5000美元，每三年颁奖一次。 前七位获奖者均因在拓扑学上的工作得奖。詹姆斯·哈里斯·西蒙斯和威廉·瑟斯顿是第一批因在几何学上的工作获奖的数学家（对于二者的某些区别，参见）。 获奖者列表 1964 赫里斯托斯·帕帕基里亚科普洛斯 1964 拉乌尔·博特 1966 斯蒂芬·斯梅…
形变收缩
在拓扑学中，收缩（），顾名思义是将整个空间收缩到一个子空间；形变收缩（）是将空间“连续收缩”成一个子空间的映射。 定义 收缩 设 X 是一个拓扑空间，A 是 X 的一个子空间。那么连续映射 :r:X \to A 是一个收缩如果 r 在 A 上的限制是 A 上的恒等映射；这就是说，r(a) = a 对所有 a 属于 A。等价地，记 :\iota : A \hookrightarrow X 为包含，一个收缩是一个连续映射 r 使得 :r \…
代数拓扑
，代数拓扑学中最常出现的研究对象之一。]] 代数拓扑（）是使用抽象代数的工具来研究拓扑空间的数学分支。其基本目标是通过寻找拓扑空间的具有代数结构的不变量，从而将拓扑空间。 尽管代数拓扑学主要通过代数研究拓扑问题，但有时也可以使用拓扑学知识解决代数问题。例如，代数拓扑学可以方便地证明自由群的任何子群又是一个自由群。 代数拓扑的主要分支 代数拓扑的几个主要分支如下： 同伦群 在数学中，同伦群是一个用于分类拓扑空间。基本群是同伦群最简单的例子…
火腿三明治定理
火腿三明治定理（*'），也被称为Stone-Tukey定理，它在测度论中有重要的意义。火腿三明治定理说明在n-维空间中有n个可测量的“物体”，可以用一个(n-1)-维的超平面把它们同時分成測度相等的两部分。 命名 当 n=3 时，就像一个三明治一样——这里的三个“物体”则是两片面包和中间的火腿。用一个平面可以同时把三个“物体”截断。 二維版本的證明：「旋轉刀片」 二維版本的證明比任意維度的證明較為簡單，流程如下： 對任何角度\alpha…
若尔当曲线定理
在拓扑学中，若尔当曲线（）是平面上的非自交环路（又称为简单闭曲线，）。若尔当曲线定理（）说明每一条若尔当曲线都把平面分成一个“内部”区域和一个“外部”区域，且任何从一个区域到另一个区域的道路都必然在某处与环路相交。它由奥斯瓦尔德·维布伦在1905年证明。 定理和证明 准确的数学表述如下： 设c为平面R2上的一条若尔当曲线。那么c的像的补集由两个不同的连通分支组成。其中一个分支是有界的（内部），另外一个是无界的（外部）。c的像就是任何一个…
柯西序列
在数学中，柯西序列、柯西列、柯西数列（），也称为基本列，是指一个元素随着序数的增加而愈发靠近的数列，以数学家奥古斯丁·路易·柯西的名字命名。 柯西列的定义依赖于距离的定义，所以只有在度量空间中柯西列才有意义。在更一般的一致空间中，可以定义更为抽象的柯西滤子和柯西网。 柯西列一个重要性质是，在完备空间中，所有的柯西数列都有极限且极限在这空间里，这就让人们可以在不求出这个极限（如果存在）的情况下，利用柯西列的判别法则证明该数列的极限是存在的…
支撑集
支撑集（，简称支集），是一个数学概念，它是集合X的一个子集，要求对给定的X上定义的实值函数f在这个子集上恰好非0。最常见的情形是，X是一个拓扑空间，比如实数轴等等，而函数f在此拓扑下连续。此时，f的支撑集被定义为这样一个闭集C：f在X \backslash C中为{0}，且不存在C的真闭子集也满足这个条件，即，C是所有这样的子集中最小的一个。拓扑意义上的支撑集是点集意义下支撑集的闭包。 特别地，在概率论中，一个概率分布是随机变量的所有可…
几何化猜想
几何化猜想（）指的是任取一个紧致（可能带边）的三维流形尽量作连通和以使其成为尽可能简单的三维流形的连通和，对于带边流形可能还需要沿着一些圆盘继续切割，有唯一的方法沿着一些环面割开得到尽可能简单的若干小块，这些小块均为八种标准几何结构之一。八种标准几何结构均为完备的黎曼度量，这些几何结构在某种意义上是比较“好”的，例如体积有限、“直线”都可无限延伸等等。该猜想由威廉·瑟斯顿提出。 内容 标准球面S，具有常曲率+l 欧氏空间R，具有常曲率0…
連續函數 (拓撲學)
在拓撲學和數學的相關領域裡，連續函數是指在拓撲空間之間的一種態射。直觀上來說，其為一個函數f，其中每一群在f(x)附近的點都會含有在x附近的一群點之值。對一個一般的拓撲空間來說，這是指f(x)的鄰域總會包含著x之鄰域的值。 在一個度量空間（如實數）裡，這是指在f(x)一定距離內的點總會包含著在x某些距離內的所有點。 定義 因為有若干個對拓撲結構的等價定義存在，所以亦存在若干種定義連續函數的方法。 開集與閉集定義 拓撲中最常見的連續概念之…
長直線
拓撲學中，長直線，或稱亞歷山德羅夫（Alexandroff）直線，是一個有點像實數線的拓撲空間，但是比實數線要「長」。長直線局部性質就如實數線，但整體性質不同，因此常用作拓撲學的基本反例。直觀地說，實數線有可數多個首尾相接的線段[0, 1)，而長直線是用不可數多個這些線段構成。 定義 閉長射線L定義為第一不可數序數ω1與半開區間[0, 1)的笛卡兒積，賦以自ω1 × [0, 1)上的字典序生成的序拓撲。將閉長射線除去最小元素(0,0)就…
拓扑伽罗瓦理论
数学中，拓扑伽罗瓦理论是源于弗拉基米尔·阿诺德对阿贝尔-鲁菲尼定理的拓扑学证明的理论，关注拓扑学概念应用在伽罗瓦理论发生的一些问题。这种理论将抽象代数中的许多思想同拓扑学思想联系起来。正如Askold Khovanskii的书中所说：“根据这个理论，解析函数的黎曼曲面覆盖复平面的方式会阻碍函数的显式可表性。关于函数无法显式表示的最有力的已知结果就是这样获得的。” 参考文献 *
商空间
在拓扑学及其相关数学领域，一个商空间（，也称为等化空间）直观上说是将一个给定空间的一些点等同或“黏合在一起”；由一个等价关系确定哪些点是等同的。这是从给定空间构造新空间的常见方法。 定义 假设X是一个拓扑空间，~是X上一个等价关系。我们能夠在商集合X/~（这个集合有所有~的等价类组成）上定义一个拓扑使得：X/~中一个等价集合是开集当且仅当他们的并集在X中是开集。所得的拓扑称为在商集合X/~上的商拓扑（）。 商拓扑可以由如下方式等價地定義…