伯努利数

白努利數 是一個数学分析中常见的有理數序列。前21个伯努利数的值列于右表。其中上標 ± 在本文中用來區別兩種不同的白努利數定義，這兩種定義只对n=1有区别：B^{-{}}_1=-1/2，B^{+{}}_1=+1/2。

符号

• ，而，是美國國家標準技術研究所（NIST）和大多数现代教科书的符号约定。
• ，而，在较早的文献中被使用。

由於對所有大於的奇數 ，白努利數 ，且許多公式中僅使用偶數項的白努利數，一些作者可能會用來代表 ，不過本文不會如此簡寫。

历史
伯努利数来源于计算等幂求和。定義等冪和如下，其中：
:S_m(n)=\sum_{k=1}^{n} k^m = 1^m + 2^m + \cdots + {n}^m
這數列和的公式必定是變數為，次數為次的多項式，稱為伯努利多項式。伯努利多項式的係數與伯努利數有關係如下：
:S_m(n) = \frac{1}{m + 1} \sum_{k=0}^m \binom{m + 1}{k} B^+_k n^{m + 1 - k},

其中 為二項式係數。

例如，把m取為1，有 1 + 2 + ... + n = \frac{1}{2}\left(B_0 n^2+2B_1^+ n^1\right) = \frac{1}{2}\left(n^2+n\right).

伯努利數最先由雅各布·伯努利研究，他给出了伯努利數的计算方法和所有幂和的统一公式。根据棣莫弗的提议，伯努利多项式中的系数被称为伯努利數。

在1842年的愛達·勒芙蕾絲的分析機筆記的筆記G，第一次記述了一個讓電腦產生伯努利數的算法。

定义
伯努利數可以由下列遞歸公式計算：
: \begin{align} \sum_{k=0}^{m}\binom {m+1} k B^{-{}}_k &= \delta_{m, 0} \\
\sum_{k=0}^{m}\binom {m+1} k B^{+{}}_k &= m+1 \end{align}
其中m=0,1,2...，是克罗内克δ函数。

伯努利數也可以用母函數技巧定義。它們的指數母函數是x/（ex − 1），使得對所有絕對值小於2π的x（冪級數的收斂半徑），有

:
\frac{x}{e^x-1} = \sum_{n=0}^{\infin} B_n \frac{x^n}{n!}
。

有時會寫成小寫bn，以便與貝爾數区分。

最初21項伯努利數記於OEIS中的數列和。

可以證明對所有不是1的奇數n有Bn = 0。

數列中乍看起來突兀的B12 = −691/2730，喻示伯努利數不能以初等方式描述；其實它們是黎曼ζ函數於負整數的值，有深邃的數論性質聯繫，所以不能預期有簡單的計算公式。

伯努利数和黎曼ζ函數
歐拉以黎曼ζ函數表達伯努利數為：

:B_{2k}=2(-1)^{k+1}\frac {\zeta(2k)\; (2k)!} {(2\pi)^{2k}}。

在[−1, 0]區間上的連續均勻概率分佈的n階累積量是Bn/n。

伯努利數的算術性質
伯努利數可以用黎曼ζ函數表達為Bn = − nζ（1 − n），也就說明它們本質上是這函數在負整數的值。因此，可推測它們有深刻的算術性質，事實也的確如此，這是庫默爾（Kummer）研究費馬大定理時發現的。

伯努利數的可整除性是與分圓域的理想類群有關。這關係由庫默爾的一道定理和更強的埃爾貝朗-里貝定理（Herbrand-Ribet）描述。而這性質與實二次域的關係由安克尼-阿廷-喬拉猜想（Ankeny-Artin-Chowla）給出。伯努利數還和代數K理論有關：若cn是Bn/2n的分子，那樣K_{4n-2}(\mathbb{Z})的階是−c2n若n為偶數；2c2n若n為奇數。

與整除性也有關連的是馮·施陶特-克勞森定理（von Staudt-Clausen）。這定理是說，凡是適合p − 1整除n的質數p，把1/p加到Bn上，我們會得到一個整數。這個事實給出了非零伯努利數Bn的分母的特徵：這些分母是適合p − 1整除n的所有質數p的乘積；故此它們都無平方因子，也都可以被6整除。

吾鄉-朱加猜想猜測p是質數當且僅當pBp−1模p同餘於−1。

p進連續性
伯努利數的一個特別重要的同餘性質，可以表述為p進連續性。若b，m和n是正整數，使得m和n不能被p − 1整除，及m \equiv n\, \bmod\,p^{b-1}(p-1)，那麼

:(1-p^{m-1}){B_m \over m} \equiv (1-p^{n-1}){B_n \over n} \,\bmod\, p^b。

因為B_n = -n\zeta(1-n)，這也可以寫成

:(1-p^{-u})\zeta(u) \equiv (1-p^{-v})\zeta(v)\, \bmod \,p^b\,，

其中u = 1 − m和v = 1 − n，使得u和v非正，及不是模p − 1同餘於1。這告訴我們，黎曼ζ函數的歐拉乘積公式中去掉1-p^z後，對適合模p − 1同餘於某個a \not\equiv 1\, \bmod\, p-1的負奇數上的p進數連續，因此可以延伸到所有p進整數\mathbb{Z}_p\,，得出*p進ζ函數**。

伯努利數的应用
伯努利數出現在正切和雙曲正切函數的泰勒級數展開式、歐拉-麥克勞林公式，及黎曼ζ函數的一些值的表達式。

拓扑
在n \ge 2時給出可平行流形邊界的怪（4n−1）球，對於它們的微分同胚類的循環群的階，有凱爾韋爾-米爾諾公式（Kervaire-Milnor），用到了伯努利數。若B是B4n/n的分子，那麼這種怪球的數目是2^{2n-2}(1-2^{2n-1})B。（拓撲學文章中的公式與這裡不同，因為拓撲學家為伯努利數編號的習慣不同。本文跟隨數論家的編號習慣。）

参考
外部連結
*[http://www.bernoulli.org 伯努利數網頁]
*[http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A047680 整數數列線上大全——與伯努利數有關的數列的記錄]
*[http://www.gutenberg.net/etext/2586 首498個伯努利數] 取自古登堡計劃