初拓扑

在一般拓扑学与数学的相关领域中，给定集合X与X上的一族函数，其初拓扑（initial topology）是使得这一族函数连续的最粗糙拓扑。

子空間拓撲与積拓撲都是初拓扑的特例。事实上，初拓扑可以看作是这两种结构的推广。

与初拓扑对偶的结构稱為终拓扑。

定义
{{Math theorem
| name = 定義
| math_statement = X 為集合，設有一集合族 \mathcal{Y} 與其指標集 I ：

:I \, \overset{Y}{\cong}\,\mathcal{Y}

還有一族與之相對應的拓扑 \mathfrak{T} ：

: I \,\overset{\tau}{\cong}\,\mathfrak{T}

:(\forall i \in I)
\left[
\tau_i \text{ is a topology of } Y_i
\right]

和一函数族 \mathcal{F} ：

: I \,\overset{f}{\cong}\,\mathcal{F}
:X \to Y_i
\right)

那 X 上關於 \mathcal{F} 的初拓扑 \tau_{\mathcal{F}}，定義為「對所有 i \in I ， f(i) 為 \tau_{\mathcal{F}} - \tau_i 连续」的最粗糙拓扑。
}}

{{Math theorem
| name = 定理
| math_statement = 若 \tau_{\mathcal{F}} 是上述定義所說， X 上關於 \mathcal{F} 的初拓扑，取：

:[[拓扑空间|\mathcal{B}
:=
\left\{
B\,|\,
(\exists i \in I)(\exists O \in \tau_i)[B = {f_i}^{-1}(O)]
\right\} ]]

那 \mathcal{B} 是 X 的拓撲基，且 \tau_{\mathcal{F}} 就是由 \mathcal{B} 所生成的拓扑。
}}

上述拓扑基 \mathcal{B} 裡的元素通常被稱為（）。

实例
*子空间拓扑是在子空間上，关于包含映射的初拓扑。
*積拓撲是关于一族投影映射的初拓扑。
*的是关于映射至其对偶空间的连续线性算子的初拓扑。

性质
特征性质
给出任意拓扑空间Z，X上的初拓扑依照上面所给的定义。则有以下性质成立：
从Z到X的映射g是连续的，当且仅当 f_i \circ g 是连续的。

Evaluation
从闭集分离点
称f_i : X \rightarrow Y_i从闭集分离点，如果X中任意闭集A，与任意不属于A的点x，\exists i \in I，使得
f_i(x)\notin \operatorname{cl}(f_i(A))
这里的cl是闭包算子。

关于初拓扑有如下定理：
一族连续映射从闭集分离点，当且仅当the cylinder sets构成集合X的一个基。

从这个定理可以得到，如果X上有一族连续映射从闭集分离点，那么关于这族映射就存在一个初拓扑。反之是不成立的，因为初拓扑是由f^{-1}(U)为子基生成的拓扑，在这个定理中要求the cylinder sets是集合X的一个基。

参考资料
*
*
*