极限点

极限点（）在数学中是指可以被集合S中的点随意逼近的點。

这个概念有益的推广了极限的概念，并且是諸如闭集和拓扑閉包等概念的基础。实际上，一个集合是闭合的当且仅当他包含所有它的极限点，而拓扑闭包运算可以被认为是通过增加它的极限点来扩充一个集合。

定义
{{Math theorem
| name = 定義
| math_statement =

(X,\,\tau) 为拓扑空间 ， A \subseteq X 為X的子集；若對X 的某點x \in X，所有包含 x 的开集也有 A 內的非 x 点，即：

: (x \in X)
\wedge
(\forall O \in \tau )\{(x \in O)\Rightarrow(\exists a \in O)[\,(a \in A)\wedge(a \neq x)\,]\}

則稱 x 為 A 的极限点（）。由 A 的所有極限點所組成的集合稱為 A 的導集（），通常記為A^{\prime}，換句話說：

: A^\prime
:=
\bigg\{
x\,\bigg|\,
(x \in X)
\wedge
(\forall O \in \tau )\{(x \in O)\Rightarrow(\exists a \in O)[\,(a \in A)\wedge(a \neq x)\,]\}
\bigg\}
}}

以上的定義來自於「總是可以找到一組A 內的點去逼近x 」的粗略想法，但一般的拓撲空間的不一定有像距離這樣的工具來比較「開集的大小」，若想以極限點嚴謹地描述「可沿著 A 去逼近點x」的話，還需要對(X,\,\tau)做額外的假設。

特殊类型的極限點
度量空间的聚集点
度量空间M 自然的帶有由度量d: M \times M \to \R^+生成的拓撲 \tau_d ；更仔細地說，是由以開球為元素的拓撲基所生成的拓撲，也就是\tau_d裡的開集都是某群開球的聯集。這樣對開球定義極限點的話，就會等價於對\tau_d定義（因為屬於某個開球等價於屬於某開集），換句話說，對度量空間可以作如下定義：

直觀上可理解為「可以用 A 裡的點（以度量 d ）無限制地逼近x」。應用上， x 為定義域的聚集點也是函數極限能在 x 上有定義的前提條件。

在度量空间中，会聚点与普通的极限点定义等价

性质

• 关于极限点的性质：x是S的极限点，当且仅当它属于S \ {x}的闭包。

**证明：根据闭包定义，某点属于某集合的闭包，当且仅当该点的所有邻域都和该集合相交。则有：x是S的极限点，当且仅当所有x的邻域都包含一个非x的点属于S，当且仅当所有x的邻域含有一个点属于S\ {x}，当且仅当x属于S \ {x} 的闭包。

• S的闭包具有下列性质：S的闭包等于S和其導集的并集。

**证明：
**（从左到右）设x属于S的闭包。若x属于S，命题成立。若x \notin S，则所有x的邻域都含有一个非x的点属于S；也就是说，x*是S的极限点，x \in S'。
**（从右到左）设x属于S，则明显地所有x的邻域和S相交，所以x属于S的闭包。若x属于L(S)，则所有x的邻域都含有一个非x的点属于S*，所以x也属于S的闭包。得证。

• 上述结论的推论给出了闭集的性质：集合S是闭集，当且仅当它含有所有它的极限点。

**证明1：S是闭集，当且仅当S等于其闭包，当且仅当S=S∪ L(S)，当且仅当L(S)包含于S。
**证明2：设S是闭集，x是S的极限点。则x必须属于S，否则S的补集为x的开邻域，和S不相交。相反，设S包含所有它的极限点，需要证明S的补集是开集。设x属于S的补集。根据假设，x不是极限点，则存在x的开邻域U和S不相交，则U在S的补集中，则S的补集是开集。

• 孤点不是任何集合的极限点。

**证明：若x是孤点，则{x}是只含有x的x的邻域。

• 空间x是离散空间，当且仅当x的子集都没有极限点。

**证明：若x是离散空间，则所有点都是孤点，不能是任何集合的极限点。相反，若x不是离散空间，则单元素集合{x}不是开集。那么，所有{x}的邻域都含有点y ≠ x，则x是x的极限点。

• 若空间x有密着拓扑，且S是x的多于一个元素的子集，则x的所有元素都是S的极限点。若S是单元素集合，则所有x\S的点仍然是S的极限点。

**说明：只要S\ {x}非空，它的闭包就是X；只有当S是空集或x是S的唯一元素时，它的闭包才是空集。
*X為T1空間，則 x 為A \subseteq X 的極限點等價於 x 的每個鄰域皆包含無限多個 A 的點。

注释
引用
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