分形

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分形（，源自，有「零碎」、「破裂」之意），又稱-{zh-cn:碎形; zh-tw:分形;}-、殘形，通常被定義為「一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數個部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小後的形狀」，即具有自相似的性質。分形在数学中是一种抽象的物体，用于描述自然界中存在的事物。人工分形通常在放大后能展现出相似的形状。分形也被称为扩展对称或展开对称。如果在每次放大后，形状的重复是完全相同的，这被称为自相似。自相似的一个例子是门格海绵。分形在不同的缩放级别上可以是近似相似的。曼德博集合的放大图像中显示了这种模式

分形与其他幾何圖形相似但又有所不同。当缩放一个图形时，就能看出分形和其他几何图形的区别。将一个多边形的边长加倍，它的面积变为原来的四倍。新的边长与旧边长相比增加了2倍，而面积增加了4倍，即2^2倍。平面内的多边形在二维空间中，指数2刚好是多边形所在的二维空间的维数。类似的，对于三维空间中的球，如果它的半径加倍，则它的体积变为原来的8倍，即2^3倍，指数3依旧是球所在空间的维数。如果将分形的一维长度加倍，如将康托三分集的初始线段长加倍，分形空间的内容变为2^n倍，此时n不一定是个整数。

作为一个数学函数，分形通常是处处不可微的。无穷分形曲线可以理解为一条一维的曲线在空间中绕行，它的拓撲維數仍然是1，但大于1的分形维数暗示了它也有类似曲面的性质，这些严谨的数学概念推动着分形的发展。20世纪时，人们创造了分形这个词，随之而来的是人们对分形和计算机建模和兴趣的迅速增长。1975年本華·曼德博首次提出“分形(fractal)”这个术语。分形的拉丁文词源*'有“破坏”、“破碎”的意思，曼德博将分形的概念从理论分形维数拓展到自然界中的几何图形。1982年曼德博提出了更正式的定义：“分形是一种其豪斯多夫维数严格大于拓撲維數的集合”{{NoteTag|原文："A fractal is by definition a set for which the Hausdorff Besicovitch dimension strictly exceeds the topological dimension."。又过了一段时间，曼德博决定使用以下方式来描述分形：“...在研究和使用分形时，不需要迂腐的定义。用分形维数*作为描述各种不同分形的通用术语。”

通常认为，理论分形是无限迭代、自相似的、具有分形维数的详细数学结构。人们创造了许多分形图形并进行了充分的研究。雖然分形是一個數學構造，它們同樣可以在自然界中被找到，這使得它們被劃入藝術作品的範疇。分形在醫學、土力學、地震学和技术分析中都有应用。在自然、技术、艺术、建筑和法律等领域，人们对图形、结构和音频中不同程度自相似的分形图形进行了研究，并反过来利用分形理论取生成图形、结构和音频。分形和混沌理论密切相关，因为混沌过程的图形大多数都是分形。

简介
，將正三角形每邊中央三分之一的線段以一對同長的線段取代，形成一個等腰的「凸角」。再對上一步驟所形成的每一邊做同樣的動作。每一次迭代，總長度增加三分之一。科赫雪花即是無限次迭代的結果，有無限長的周長，但其面積還是有限的。因此，科赫雪花和其他相似構造有時會被稱為「怪獸曲線」]]
和数学家们相比，分形一词对大众来说含义不尽相同。相对于数学概念来说，大众可能更熟悉分形艺术。即使是对数学家来说分形也很难定义，但只要一点点数学背景就可以理解分形的核心特征。

分形的“自我相似”的特征很容易通过类比来理解，就像用镜头或其他设备放大数字图像，从而发现以前不可见的、更精细的新结构。如果你放大一个分形的图像，则不会出现新的细节；图像没什么变化，相似的图案一遍又一遍的重复出现。对于有些分形几乎完全一样的图像会不断地重复。在他的著作中萊布尼茨使用了“分形指数”这个术语，但遗憾的是“几何”还不知道它们。不久之后，1883年，参加过魏爾施特拉斯课程。

1960年代，本華·曼德博開始研究自相似，且在刘易斯·弗赖伊·理查森之前工作的基礎上，寫下一篇論文《英國的海岸線有多長？統計自相似和分數維度》。最終，曼德博在1975年提出了「分形」一詞，來標記一個豪斯多夫-贝西科维奇維數大於拓扑维数的物件。曼德博以顯著的電腦绘制圖像來描繪此一數學定義，這些圖像征服了大眾的想像；它們中許多都基於递归，導致了大眾對術語「分形」的通俗理解。

不同的研究者推测，由于缺乏现代计算机图形学的帮助，早期的研究人员受限于工具，只能手绘图形。因此缺乏可视化分形之美的手段，也无法欣赏它们发现的许多分形模式的含义。如茱莉亚集，通过几次迭代，只能可视化为非常简单的图形。1975年

1980年，洛伦·卡彭特在计算机图形学顶级年会SIGGRAPH上发表了一次演讲，演讲中他介绍了他基于分形理论开发的用于产生风景的软件。

特徵
分形一般有以下特質：

• 在任意小的尺度上都能有精細的結構；
• 太不規則，以致无论是其整体或局部都難以用傳統歐氏幾何的語言來描述；
• 具有（至少是近似的或统计的）自相似形式；
• 一般地，其“分形维数”（通常為豪斯多夫維數）會大於拓扑维数（但在空間填充曲線如希爾伯特曲線中為例外）；
• 在多數情況下有著簡單的遞歸定義。

因為分形在所有的大小尺度下都顯得相似，所以通常被認為是無限複雜的（以不严谨的用詞來說）。自然界裡一定程度上類似分形的事物有雲、山脈、閃電、海岸線、雪片、植物根、多種蔬菜（如花椰菜和西蘭花）和動物的毛皮的圖案等等。但是，並不是所有自相似的東西都是分形，如實直線雖然在形式上是自相似的，但卻不符合分形的其他特質，比如說它能被傳統的歐氏幾何語言所描述。

分形的圖像可以用作出。儘管用此類軟件生成的圖像並不具備上述分形的特徵，比如說存在放大後無上述特徵的局部區域，但是這些圖像通常仍然被稱為分形。而且這些圖像可能含有由計算或顯示造成的人為偏差——一些不屬於分形的特徵。

示例
一類分形的典型例子有：康托爾集、謝爾賓斯基三角形和地毯、門格海綿、龍形曲線、皮亚诺曲线和科赫曲線。其他的例子包括及的極限集。分形可以是確定性的，如上述所有的分形；也可以是隨機的（即非確定性的）。比如說，平面上布朗運動的軌跡的豪斯多夫維數等於2。

混沌動力系統有時候會和分形聯繫起來。動力系統的相空間中的對象可以是分形（參見吸引子），一族系統的中的對象也可以是分形。一個有意思的例子就是曼德博集。這個集合包含很多完整的圓盤，所以它的豪斯多夫維數等於它的拓扑維數2；但是真正令人驚訝的是，曼德博集的邊界的豪斯多夫維數也是2（而拓扑維數是1），這個結果由宍倉光廣（Mitsuhiro Shishikura）在1991年证明。一个与曼德博集紧密相关的分形是朱利亚集。

造法
四個製造分形的一般技術如下：

• 逃逸時間分形：由空間（如複平面）中每一點的遞迴關係式所定義，例如曼德博集合、茹利亚集合、、牛顿分形和等。由一次或兩次逃逸時間公式的迭代生成的二維向量場也會產生分形，若點在此一向量場中重複地被通過。
• 迭代函數系統：使用固定的幾何替代規則生成分形，得到的结果可能是随机的或确定的。Haferman地毯、康托爾集、謝爾賓斯基三角形、謝爾賓斯基地毯、皮亚诺曲线、科赫雪花、龍形曲線、、門格海綿等都是此類分形的一些例子。
• 隨機分形：由隨機而無確定過程產生，如布朗運動的軌跡、、和等。後者會產生一種稱之為樹狀分形的分形，如或反應限制聚集束。
• 奇異吸引子：以一個映射的迭代或一套會顯出混沌的初值微分方程所產生。

分類
分形也可以依據其自相似來分類，有如下三種：

:* 精確自相似：這是最強的一種自相似，分形在任一尺度下都顯得一樣。由迭代函數系統定義出的分形通常會展現出精確自相似來。
:* 半自相似：這是一種較鬆的自相似，分形在不同尺度下會顯得大略（但非精確）相同。半自相似分形包含有整個分形扭曲及退化形式的縮小尺寸。由遞迴關係式定義出的分形通常會是半自相似，但不會是精確自相似。
:* 統計自相似：這是最弱的一種自相似，這種分形在不同尺度下都能保有固定的數值或統計測度。大多數對「分形」合理的定義自然會導致某一類型的統計自相似（分形维数本身即是個在不同尺度下都保持固定的數值測度）。隨機分形是統計自相似，但非精確及半自相似的分形的一個例子。

應用
如上所述，隨機分形可以用來描述許多高度不規則的現實世界的物件。其他分形的應用亦包括：

• 醫學中切片的歸類
• 或海岸線複雜性
• 酵素/酵素學（米曼氏動力學）
• 製作新音樂
• 製作許多的藝術形式
• 复杂网络分析
• 信号及图像压缩
• 地震學

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• 電腦及電視遊戲設計，尤其是有機背景的CG和部份的過程生成
• 斷口分析和斷裂力學
• －使用分形形狀的小尺寸天線

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• 新嬉皮T恤和其他的時尚服飾
• 偽裝圖樣的製作，如
• 數位日晷
• 價格序列的技術分析（見艾略特波浪理論）

软件
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• Visions of Chaos

注释
参考文献
引用
来源

• Mandelbrot, B.B.,1967,How long is the coast of Britain? Statistical selfsimilarity and fractional dimension, Science,155,636~638
• Mandelbrot, B.B.,1977,Fractals,Form,Chance and Dimension,San Francisco,W.H.Freeman&Co.
• Mandelbrot, B.B.,1982,The Fractal Geometry of Nature,San Francisco,Freeman.
• 李水根，2004，分形，北京：高等教育出版社
• 陈顒、陈凌，2005，分形几何学，北京:地震出版社

外部链接

• [http://www.atlas-zone.com/complex/fractals/index.html 分形 Fractal（複雜性科學 - 複雜適應性系統）]
• [https://web.archive.org/web/20130726081353/http://classes.yale.edu/Fractals/ Fractal Geometry]

参见

• 中心地理論