门格海绵（、）是分形的一种。它是一个通用曲线，因为它的拓扑维数为一，且任何其它曲线或图都与门格海绵的某个子集同胚。它有时称为门格-谢尔宾斯基海绵或谢尔宾斯基海绵。它是康托尔集和谢尔宾斯基地毯在三维空间的推广。它首先由奥地利数学家卡爾·門格爾在1926年描述，当时他正在研究拓扑维数的概念。

结构
门格海绵的结构可以用以下方法形象化：

从一个正方体开始。（第一张图像）

把正方体的每一个面分成9个正方形。这将把正方体分成27个小正方体，像魔方一样。

把每一面的中间的正方体去掉，把最中心的正方体也去掉，留下20个正方体（第二张图像）。

把每一个留下的小正方体都重复第1-3个步骤。

把以上的步骤重复无穷多次以后，得到的图形就是门格海绵。

性质
门格海绵的每一个面都是谢尔宾斯基地毯；同时，门格海绵与原先立体的任何一条对角线的交集都是康托尔集。

门格海绵是一个闭集；由于它也是有界的，根据海涅-博雷尔定理，它是一个紧集。更进一步，门格海绵是不可数集，且具有勒贝格测度0。

门格海绵的拓扑维数是一，与任何曲线一样。门格在1926年证明了，它是一个通用曲线，就是说任何一维曲线都与门格海绵的一个子集同胚，这里的曲线是指任何勒贝格覆盖维数为一的紧度量空间。

门格海绵的豪斯多夫维为(ln 20) / (ln 3)（大约2.726833）。

门格海绵的表面积无穷大。

正式定义
正式地，门格海绵可以定义如下：

:M := \bigcap_{n\in\mathbb{N}} M_n

其中M0是单位立方体，且：

:M_{n+1} := \left\{\begin{matrix}
(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: &
\begin{matrix}\exists i,j,k\in\{0,1,2\}: (3x-i,3y-j,3z-k)\in M_n \end{matrix}
\end{matrix}\right\}且i、j和k中最多只有一个等于1。

参见

• 谢尔宾斯基三角形
• 科赫曲线

参考文献

• Karl Menger, General Spaces and Cartesian Spaces, (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted in Classics on Fractals, Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
• Karl Menger, Dimensionstheorie, (1928) B.G Teubner Publishers, Leipzig.

外部链接

• [https://web.archive.org/web/20080515093001/http://www.ibiblio.org/e-notes/VRML/Poly/Poly.htm 分形多面体] （VRML）和[https://web.archive.org/web/20051217041007/http://www.ibiblio.org/e-notes/3Dapp/Sponge.htm 互动Java模型]

*[http://mathworld.wolfram.com/MengerSponge.html Menger sponge at Wolfram MathWorld]
*[http://theiff.org/oexhibits/menger01.html The 'Business Card Menger Sponge' by Dr. Jeannine Mosely – an online exhibit about this giant origami fractal at the Institute For Figuring]
*[http://www.mathematik.com/Menger/Menger2.html An interactive Menger sponge]
*[https://web.archive.org/web/20051217041007/http://www.ibiblio.org/e-notes/3Dapp/Sponge.htm Interactive Java models]
*[http://santisan.free.fr/coco/extras2.htm Puzzle Hunt] — Video explaining Zeno's paradoxes using Menger–Sierpinski sponge
*[http://www.pure-mirage.com/html/Optimized%20Menger%20Sponges.htm Menger Sponge Animations] — Menger sponge animations up to level 9, discussion of optimization for 3d.
*[http://www.flickr.com/photos/fpsunflower/337024546/ Menger sphere] , rendered in SunFlow
*[http://www.flickr.com/photos/rougeux/sets/72157621702780335/ Post-It Menger Sponge] – a level-3 Menger sponge being built from Post-its
*[http://www.nytimes.com/2011/06/28/science/28math-menger.html?_r=1 The Mystery of the Menger Sponge.] Sliced diagonally to reveal stars
*[http://oeis.org/A212596 Number of cards required to build a Menger sponge of level n in origami]
*[http://www.woollythoughts.com/menger.html Woolly Thoughts Level 2 Menger Sponge] by two "Mathekniticians"