曼德博集合（，或译為曼德布洛特复数集合）是一种在复平面上组成分形的点的集合，以數學家本華·曼德博的名字命名。曼德博集合與朱利亚集合有些相似的地方，例如使用相同的复二次多项式來进行迭代。

定义
曼德博集合可以用複二次多项式来定义：

:f_c(z) = z^2 + c \,

其中 c 是一个复数參数。

从 z = 0 开始对 f_c(z) 进行迭代：

:z_{n+1} = {z_n}^2 + c, n=0,1,2,...

:z_0 = 0 \,

:z_1 = {z_0}^2 + c = c \,

:z_2 = {z_1}^2 + c = c^2 + c \,

每次迭代的值依序如以下序列所示：

(0, f_c(0), f_c(f_c(0)), f_c(f_c(f_c(0))), \ldots)

不同的参数 c 可能使序列的绝对值逐漸發散到无限大，也可能收斂在有限的區域内。

曼德博集合 M 就是使序列不延伸至无限大的所有复数 c 的集合。

特性
*自相似
*面积为

相關的定理
定理一
若 |c|\leq\frac{1}{4}，則 c\in{M}

證明：
假設 |c|\leq\frac{1}{4} 為真

則|z_1|= |c|\leq \frac{1}{4}

第一步：
當 n=2 \, 時

:|z_2|=|z_1^2+c|=|c^2+c| \leq |c^2|+|c|= |c|^2+|c|

因為 |c|\leq\frac{1}{4}

:|c|^2+|c|\leq \frac{1}{16}+\frac{1}{4}

由以上可得知 |z_2|

第二步：
假設 |z_{n}| 成立

:|z_{n+1}|=|z_{n}^2+c|\leq |z_{n}|^2+|c|

由上式可得知 |z_{n+1}|

由數學歸納法可得知對於所有的n(n=1,2,...)，|z_n| \, 皆比 \frac{1}{2} \, 小。

當n趨近無限大時 |z_n| \, 依然沒有發散，所以 c\in{M}，故得證。

定理二
若 c\in{M}，則 |c|\leq{2}

證明：
假設 |c|>2 \,

則 |z_1|=|c|, |z_1|>2 \,

第一步：
當 n=2 \, 時

:|z_2|=|z_1^2+c|=|c^2+c| \ge |c^2|-|c|= |c|^2-|c|

由 |c|>2 \,，左右同乘 |c| \, 再減去 |c| \, 可得到下式

:|c|^2-|c|> 2|c|-|c|= |c| \,

由以上可得知 |z_2|>|c| \,

第二步：
假設 |z_{n}|>|c| \, 成立，則 |z_{n}|>2 \,

:|z_{n+1}|=|z_{n}^2+c|\ge |z_{n}^2|-|c|= |z_{n}|^2-|c|

因為 |z_{n}|>|c| \,

:|z_{n}|^2-|c|> |z_{n}|^2-|z_{n}| \,

由 |z_{n}|>2 \,，左右同乘 |z_{n}| \, 再減去 |z_{n}| \, 可得到下式

:|z_{n}|^2-|z_{n}|> 2|z_{n}|-|z_{n}|= |z_{n}| \,

由以上可得知 |z_{n+1}|>|z_{n}| \,

由數學歸納法可得知 2，可看出隨著迭代次數增加 |z_n| \, 逐漸遞增並發散。

假如|z_n| \,不发散，则收敛于某个常数 a>|c|>2 ,

由|z_{n+1}|\ge |z_{n}|^2-|c| 再取极限得 a\ge a^2-|c| 即 a^2-a\leq |c|。

又 a^2-a=a(a-1)\ge a> |c|，矛盾，故|z_n| \,发散。

所以若 |c|>2 \,，則 c\notin{M}，故得證。

定理三
若 c\in{M}，則 |z_n|\leq{2}, (n=1,2,...)

證明：
要證明若 |z_n|>2, (n=1,2,...) \,，則 c\notin{M}

首先分別探討 |c|>2 \, 與 |c|\leq2 兩種情形

由定理二可知道 |z_n|>2, (n=1,2,...) \, 且 |c|>2 \, 時， c\notin{M}。

接著要證明 |c|\leq2 時的情況：

假設 |z_{n}|>2 \,，因為 |c|\leq2 ，所以 |z_{n}|>|c| \, ，而

:|z_{n+1}|=|z_{n}^2+c|\ge |z_{n}^2|-|c|= |z_{n}|^2-|c|

因為 |z_{n}|>|c| \,

:|z_{n}|^2-|c|> |z_{n}|^2-|z_{n}| \,

由 |z_{n}|>2 \,，左右同乘 |z_{n}| \, 再減去 |z_{n}| \, 可得到下式

:|z_{n}|^2-|z_{n}|> 2|z_{n}|-|z_{n}|= |z_{n}| \,

由以上可得知 |z_{n+1}|>|z_{n}| \,

由數學歸納法可得知 2，可看出隨著迭代次數增加 |z_n| \, 逐漸遞增並發散。

所以在 |z_n|>2, (n=1,2,...) \, 且 |c|\leq2 的情況下也是 c\notin{M}。

綜合上述可得知不論 |c| \,為多少

若 |z_n|>2, (n=1,2,...) \,，則 c\notin{M}，故得證。

利用定理三可以在程式計算時快速地判斷 |z_n| \,是否會發散。

计算的方法
曼德博集合一般用计算机程序计算。对于大多数的分形软件，例如Ultra fractal，内部已经有了比较成熟的例子。下面的程序是一段伪代码，表达了曼德博集合的计算思路。

For Each c in Complex
repeats = 0
z = 0
Do
z = z^2 + c
repeats = repeats + 1
Loop until abs(z) > EscapeRadius or repeats > MaxRepeats '根据定理三，EscapeRadius可设置为2。
If repeats > MaxRepeats Then
Draw c,Black '如果迭代次数超过MaxRepeats，就将c认定为属于曼德博集合，并设置为黑色。
Else
Draw c,color(z,c,repeats) 'color函数用来决定颜色。
End If
Next

決定顏色的一些方法

直接利用循环终止时的Repeats

综合利用z和Repeats

Orbit Traps

Mathematica代码
mand = Compile[{{z0, _Complex}, {nmax, _Integer}},
Module[{z = z0, i = 1},
While[i

各種圖示
參考資料