艾普塞朗數

艾普塞朗數ε乃是數學集合論中一系列的超限序數，其為指數映射的某些固定點。因此，它並不能透過較小序數有限次數的加法及乘法運算而獲得。康托爾原來引進的艾普塞朗數，乃以以下的方式定義:-

ε乃是一個滿足以下式的序數，當中ω乃是最小的無限序數。

:\varepsilon = \omega^\varepsilon, \,

滿足上式的所有ε當中，最小的記為*ε0**。它可以透過以下的超限遞歸法獲得:-

:\varepsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^{\cdot^{\cdot^\cdot}}}} = \sup \{ \omega, \omega^{\omega}, \omega^{\omega^{\omega}}, \omega^{\omega^{\omega^\omega}}, \dots \}

其後如此類推，

:\varepsilon_{\alpha + 1} = \sup\{\varepsilon_\alpha + 1, \omega^{\varepsilon_\alpha + 1}, \omega^{\omega^{\varepsilon_\alpha + 1}}, \dots\} = \sup\{0, 1, \varepsilon_\alpha, \varepsilon_\alpha^{\varepsilon_\alpha}, \varepsilon_\alpha^{\varepsilon_\alpha^{\varepsilon_\alpha}}, \dots\}

更大的艾普塞朗數為\varepsilon_1, \varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_\omega, \varepsilon_{\omega+1}, \ldots, \varepsilon_{\varepsilon_0}, \ldots, \varepsilon_{\varepsilon_1}, \ldots, \varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{\cdot_{\cdot_{\cdot}}}}},\ldots。值得留意的是，ε0的基数，仍然為可數的。實際上，所有指標為可數的ε，其基數也是可數的。不可數的ε（意指滿足定義式\varepsilon = \omega^\varepsilon, \, 的ε）存在，但其指標也是不可數的。

參考條目
*巨大可數序數