在數學裡，有著許多明顯矛盾的虛假證明存在。即使其證明是有缺陷的，其錯誤——通常是經過設計的——卻常是較難抓摸的。這些謬誤一般都儘止於好奇而已，但可以被用来顯示嚴謹在數學中的重要性。

大多數此類的證明都仰賴著同種錯誤的變形。此一錯誤為採一非單射的函數f，以觀察對某些x和y，會有f(x)=f(y)，來（錯誤地）做出x=y的結論。零除數是此類錯誤的一特例；f為將x映射至x\times 0的函數，而其錯誤的一步是起於將x\times 0=y\times 0的等式做成x=y的結論。相似地，下面證明了5=4的句子也是以函數f(x)=x^{2}的同一種錯誤造成的。其錯誤的一步始於有某個x和y會使得x^{2}=y^{2}的一正確申論，然後做出了x=y的一錯誤結論。

算术例子
證明1是最大的正整數

• 假設最大的正整數不是1，而是a，有a > 1；

• a > 1 > 0，a為正的，所以由a > 1得到a \times a > a；

• 但是a \times a還是正整數，可是沒有任何正整數比a大，矛盾；

• 所以最大的正整數是1。

Q.E.D.

此一證明是無效的，因為最大的正整數不存在，因此不能如此假設。

證明-1等於1

• 由一等式開始

*: -1 = -1 \,

• 將兩邊轉成假分數

*: \frac{-1}{1} = \frac{1}{-1}

• 將兩邊開方

*: \sqrt{\frac{-1}{1}} = \sqrt{\frac{1}{-1}}

• 其會等於

*: \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}

• 兩邊同乘\sqrt{-1}以來消去分數

*: \sqrt{ -1}\sqrt{-1} = \sqrt{1}\sqrt{1}

• 但任一數的開方之平方會給出原本的數來，故

*: -1 = 1 \,

Q.E.D.

此一證明是無效的，因為負數的開方不是实数，\sqrt{\frac{1}{-1}} = \sqrt{\frac{-1}{1}}推出\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}是错误的（事實上，\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = -i，\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}} = i）。

證明1等於2
1.令a = b \,，且a \ne 0

2.將兩邊乘以a
:a^{2} = ab \,
3.將兩邊減掉b^{2} \,
:a^{2} - b^{2} = ab - b^{2} \,
4.將兩邊因式分解
:(a + b)(a - b) = b(a - b) \,
5.將兩邊除以a - b \,
:a + b = b \,
6.因為a = b \,因此
:b + b = b \,
7.簡化
:2b = b \,
8.將兩邊除以b
:2 = 1 \,
Q.E.D.

這個證明的錯誤點在於第五步， \,正因為a=b所以a-b等於零，而除以零是無效的。

證明4等於5

• 由一等式開始

*: -20 = -20 \,

• 將等式兩邊以稍微不同但相等的方式表示

*: 25 - 45 = 16 - 36 \,

• 將兩邊做因式分解

*: 5^2 - 5 \times 9 = 4^2 - 4 \times 9

• 將兩邊加上相同的數

*: 5^2 - 5 \times 9 + \frac{81}{4} = 4^2 - 4 \times 9 + \frac{81}{4}

• 將兩邊再做一次因式分解

*: \left(5 - \frac{9}{2}\right)^2 = \left(4 - \frac{9}{2}\right)^2

• 將兩邊開方

*: 5 - \frac{9}{2} = 4 - \frac{9}{2}

• 消去相同的項

*: 5 = 4 \,

Q.E.D.

那一證明內的錯誤在於x^2 = y^2不表示x = y的這一事實。到此之前的算術都是正確的，而事實上，-\left(5 - \tfrac{9}{2}\right) = 4 - \tfrac{9}{2}。需注意的是，若將4減去\tfrac{9}{2}，會得到-\tfrac{1}{2}。若再平方的話，則會得到正的\tfrac{1}{4}。其下一個邏輯的數學步驟為取兩邊的平方。若這樣做的話，則將會看見\tfrac{1}{2}會等於\tfrac{1}{2}。原始的-20=-20式子事實上是會導致一個正確的等式的（若此一問題是以此一純粹的方式運算的話）。

證明1+1=0
*求1+1︰

:
\begin{align}
1+1&=1+\sqrt{1} \\
&=1+\sqrt{(-1)(-1)} \\
&=1+\sqrt{-1} \times \sqrt{-1} \\
&=1+i \times i \\
&=1+(-1) \\
&=0\\
\end{align}

Q.E.D.

此證明的錯誤在於\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}只有在a與b不皆為負數才成立，\sqrt{(-1)(-1)}並不等於\sqrt{-1} \times \sqrt{-1}。

證明0=1
首先，設定一個無窮級數。
:0 = 0 + 0 + 0 + \cdots

因為0 = 1 - 1，因此：
:0 = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + \cdots

拆括號之後在於不同的地方加上括號：
:0 = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \cdots

-1 + 1 = 0，因此：
:0 = 1 + 0 + 0 + 0 + \cdots
:0 = 1 \,

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於，無窮等比級數在公比的絕對值大於等於一的情況下，將括號插入無窮級數求無窮和是沒有意義的，因為這樣的無窮等比級數和發散。因此這類條件不適用於格蘭迪級數 s = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots。

證明任何數字等於1/任何數字
: -\frac{1}{b}

=-\frac{\frac{a}{a}}{b}

=-\frac{a}b{} \cdot \frac{1}{a}

\frac{-\frac{a}{b}}{-\frac{1}{b}} = \frac{1}{a}

-\frac{a}{b} \cdot -b = \frac{1}{a}

a = \frac{1}{a}

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於，\frac{-\frac{a}{b}}{-\frac{1}{b}} 不等於 \frac{1}{a}，正確等式應是\frac{-\frac{1}{b}}{-\frac{a}{b}} = \frac{1}{a}（下一步：\frac{1}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{1}{a}）。

證明0/0等於0
首先，我們知道：
:0 ^ 4 = 0 \times 0 \times 0 \times 0 = 0\,
:0 ^ 2 = 0 \times 0 = 0\,
由於a ^ {m - n} = \frac{a ^ m}{a ^ n}

因此\frac{0 ^ 4}{0 ^ 2} = 0^{4 - 2} = 0 ^ 2 = 0

因此\frac{0}{0} = 0

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於，a ^ {m - n} = \frac{a ^ m}{a ^ n}成立的前提有a \ne 0。

證明任意兩數都是相等的
設u = a \ , \ v = b - c\,

設a = x - y \ , \ b = (x + y)^2 \ , \ c = 4 (x^2 - x y + y^2)\,

由和立方與差立方公式可知：
: (u + \sqrt {v})^3 = u^3 + 3 u^2 \sqrt{v} + 3 u v + v \sqrt{v}
: (u - \sqrt {v})^3 = u^3 - 3 u^2 \sqrt{v} + 3 u v - v \sqrt{v}

由於u = a \ , \ v = b - c\,
: (a + \sqrt {b - c})^3 = a \ (a^2 + 3 b - 3 c) + (3 a^2 + b - c)\sqrt{b - c}
: (a - \sqrt {b - c})^3 = a \ (a^2 + 3 b - 3 c) - (3 a^2 + b - c)\sqrt{b - c}

將a = x - y \ , \ b = (x + y)^2 \ , \ c = 4 (x^2 - x y + y^2)\,代入3 a^2 + b - c\,，可得：
: 3 a^2 + b - c = 3 (x^2 - 2 x y + y^2) + x^2 + 2 x y + y^2 - 4 (x^2 - x y + y^2) = 0\,

因此：
:
\begin{align}
(a + \sqrt{b - c})^3 &= (a - \sqrt {b - c})^3 \\
a + \sqrt{b - c} &= a - \sqrt {b - c} \\
\sqrt {b - c} &= 0 \\
b - c &= 0 \\
b &= c \\
\end{align}

代入b = (x + y)^2 \ , \ c = 4 (x^2 - x y + y^2)\,，可得：
:
\begin{align}
(x + y)^2 &= 4 (x^2 - x y + y^2) \\
x^2 + 2 x y + y^2 &= 4 (x^2 - x y + y^2) \\
-3 x^2 + 6 x y - 3 y^2 &= 0 \\
(x - y)^2 &= 0 \\
x - y &= 0 \\
x &= y \\
\end{align}

Q.E.D.

这个证明的错误在于：

1、在以上的假设下，可得v=b-c=(x+y)^2-4(x^2-xy+y^2)=-3(x-y)^2=-3a^2=-3u^2，所以u和v并不是独立的；

2、在复数域中，由x^3=y^3得不出x=y。在此证明中，由(a+\sqrt{b-c})^3=(a-\sqrt{b-c})^3得出a+\sqrt{b-c}=a-\sqrt{b-c}是错误的。

几何例子
第一题：证明任何三角形都是正三角形
给定三角形△ABC，证明AB = AC:

作∠A的角平分线。

作BC的垂直平分线，并设BC的中点为D。

设这两条直线的交点为P。

从P向AB和AC作垂线，并设垂足为E和F。

作直线PB和PC。

△EAP ≅ △FAP（AP = AP；∠PAF ≅ ∠PAE由于AP平分∠A；∠AEP ≅ ∠AFP都是直角）。

△PDB ≅ △PDC（∠PDB、∠PDC是直角；PD = PD；BD = CD由于PD平分BC）。

△EPB ≅ △FPC（EP = FP由于△EAP ≅ △FAP；BP = CP由于△PDB ≅ △PDC；∠EPB ≅ ∠FPC由于它们是对顶角）。

因此，AE ≅ AF，EB ≅ FC，AB = AE + EB = AF + FC = AC。

同理，AB = BC，AC = BC。

证毕。

这个证明的错误在于，只有在△ABC為等腰三角形，P才會位于三角形的内部，而且AP与DP会重合。

第二题：证明直角等于钝角
给定一个矩形ABCD，证明∠DCB=∠ECB；

在矩形ABCD外作CE=CD。

联结AE。

作BC、AE的中垂线，它们的垂足分别是G、F，两条直线交于H。

在中垂线上的点到线段两端的距离是相等的，所以HA=HE，HB=HC。

矩形的对边相等，得AB=DC；加上作图要求，得AB=EC。

利用S.S.S得△ABH≅△ECH。于是得∠ABH=∠ECH。

由于HB=HC，则得∠HBC=∠HCB。

等量减等量，得∠ABC=∠ECB。

矩形的四个角都是90°，得∠ABC=∠ECB=90°。

Q.E.D.

这个证明的错误在于，由于△ABH≅△ECH，则∠BHA=∠CHE，即∠AHE=∠BHC-∠BHA+∠CHE，可以把∠AHE看作是∠BHC的旋转，因AH穿过了矩形ABCD，则EH是不可能穿过矩形ABCD的。

微积分例子
证明0等于1
我们从计算以下的不定积分开始：
:\int \frac{1}{x} dx
利用分部积分法，可得：
:u=\frac{1}{x}，dv=dx
因此：
:du=-\frac{1}{x^2}dx，v=x
所以，有：
:\int \frac{1}{x} dx=\frac{x}{x} - \int \left ( - \frac{1}{x^2} \right ) x dx
:\int \frac{1}{x} dx=1 + \int \frac{1}{x} dx
:0 = 1 \,

证毕。

这个证明的错误在于，忽略了積分完會出現的積分常數C。若繼續計算，會得到1 + \int \frac{1}{x} dx=1 + \ln\ |x|+C=\ln\ |x|+C'。

參見

• 悖論