人們經常使用\frac{22}{7}這個有理數作為圓周率\pi的丢番圖逼近。在\pi的連分數表達中，\frac{22}{7}是它的一個渐近分數。從這兩個數字的小數形式可見\frac{22}{7}是大於\pi的：
:\frac{22}{7} \approx 3.142857\dots\,
:\pi \approx 3.141592\dots\,
這個近似值從古代就有人使用。縱使阿基米德並非這個近似值的始創者，但他證明了{22 \over 7}高估了圓周率。他以{22 \over 7}大於外切正96邊形的周界：該圓直徑之比作證明。
這個近似值常被稱為「約率」，除這以外，常用的近似值還有同是由祖沖之在5世紀提出的「密率」：{355 \over 113}。
以下是另一個\frac{22}{7}>\pi的證明，所用到的只是微積分的基本技巧。它本來只是用於顯示可以用有系統的方法計算π的值，而非以證明\frac{22}{7}>\pi為最終目標。它比起一些基本證明更容易理解。它的優雅是由於它和丟番圖逼近的關連。路卡斯稱這條公式為「其中一個估計π值的最美麗結果」。Havil以這個結果作爲一個有關以連分數估計的討論之結尾，說它在該範疇是「不得不提及」的。
概念
:0
故此\frac{22}{7}>\pi。
詳情
被積函數是一個分數，其分子和分母皆是非負函數，所以該積分是正數。由於被積函數是正數，由0至1的定積分也大於0。
以下就證明該積分實際上與{22 \over 7}的關係：
:
布肯南數學比賽中的出現
求取這積分的值是1968年威廉·罗威尔·普特南数学竞赛的第一個題目：
:A-1. 证明
::\frac{22}{7} -\pi=\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx
上限和下限
達賽爾（1944）指出，只要把1代入分母中的x，可輕易取得積分的下限；把0代入分母中的x，可取得積分的上限：
:{1 \over 1260}
結果得出
:{22 \over 7} - {1 \over 630}
也許這是計算\pi值至小數後3位的最快和最基本的方法。另參見達賽爾（1971）.
參考資料
相關條目
*圆周率近似值
*證明0.999...等於1
*证明所有素数的倒数之和发散
*费马平方和定理的证明
*數學符號表
外部連結
- [http://www.cecm.sfu.ca/%7Ejborwein/pi-slides.pdf Pi的故事]，Jonathan Borwein著；第5頁出現這積分
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