在數學中，公理化集合论是集合論透過建立一階邏輯的嚴謹重整，以解決樸素集合論中出現的悖論。集合論的基礎主要由德國數學家格奧爾格·康托爾在19世紀末建立。

嚴謹集合論的源起
集合論的公理
集合論中其中一套由最後整理的公理系統，称為Zermelo-Fraenkel集合論（）。實際上，這個名稱通常不包括歷史上遠比今天具爭議性的選擇公理，當包括了選擇公理，這套系統被稱為。

外延公理：（）兩個集合 x, y 相同，若且唯若它們擁有相同的元素，即 x 的任意元素也是 y 的元素，反之亦然。

分類公理：（）或稱子集公理，对任意集合 X 及语句 P，存在一個集合，其元素为 X 中所有使命题 P(x) 成立的元素 x。

配對公理：（）对任意集合 x, y，存在集合 \{x,y\}，其僅有元素为 x 與 y。

並集公理：（）每一個集合有一個並集。即对任意集合 x，存在集合 y，其元素正是 x 的元素的元素。

空集公理：存在一個没有任何元素的集合，我們記這個空集合為 \{\}。可由分類公理得出。

無窮公理：（）存在一個集合 x，空集 \{\} 為其元素之一，且對於 x 中的任意元素 y，y \cup \{y\} 也是 x 的元素。

替代公理：（）

冪集公理：（）每一個集合有其冪集。即對於任意集合 x，存在集合 y，其元素是 x 的所有子集。

正規公理：（）每一個非空集合 x 總有一元素 y 與 x 不相交。

選擇公理：（）对于任意集合 x ，若其元素皆為互不相交的非空集，则存在集合 y（x 的一個選擇集合），x 的每一個元素都有且仅有一個元素属于 y。

命題在ZFC中的獨立性
引用
Keith Devlin, 1992. The Joy of Sets*, 2nd ed. Springer-Verlag.

• Potter, Michael, 2004. Set Theory and Its Philosophy. Oxford Univ. Press. ISBN 0-19-927041-4.
• Suppes, Patrick, 1972. Axiomatic Set Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-61630-4.

Tourlakis, George, 2003. Lectures in Logic and Set Theory, Vol. 2*. Cambridge Univ. Press.

参见

• 可替代的集合論
• ℶ 數
• 康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理
• 對角論證法
• 康托爾定理
• Implementation of mathematics in set theory
• Internal set theory
• Kripke-Platek set theory with urelements
• List of set theory topics
• 模型論
• Morse-Kelley set theory
• 樸素集合論
• 新基礎集合論
• Simple theorems in the algebra of sets
• 馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論
• Zermelo-Fraenkel 集合論
• 佐恩引理
• 公理化數學
• ZFC系統無法確定的命題列表

外部链接
[http://us.metamath.org/ Metamath] : A web site devoted to an ongoing derivation of mathematics from the axioms of ZFC and first-order logic. Principia Mathematica* done right.
*Stanford Encyclopedia of Philosophy:
** [http://plato.stanford.edu/entries/set-theory/ Set Theory] -- by Thomas Jech.
** [http://plato.stanford.edu/entries/quine-nf Quine's New Foundations] -- by Thomas Forster.
** [http://setis.library.usyd.edu.au/stanford/entries/settheory-alternative/ Alternative axiomatic set theories] -- by Randall Holmes.
*Randall Holmes's [http://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/setbiblio.html bibliography] for set theories allowing a universal set.

• Mathias, A. R. D., 2004, "[https://web.archive.org/web/20070928044753/http://www2.univ-reunion.fr/~ardm/maclane.pdf The Strength of Mac Lane Set Theory.]" Surveys, and sets out new results and new proofs for old results, for a number of alternatives to ZFC, including ZBQC (proposed by Saunders Mac Lane), topos theory, Kripke-Platek set theory, Foster-Kaye set theory, Harvey Friedman, and systems similar to 新基礎集合論.

*[http://www.apronus.com/provenmath/axioms.htm Axioms of Set Theory at ProvenMath]
For information on the history of set theory notation, see:
*[https://web.archive.org/web/19990220115724/http://members.aol.com/jeff570/set.html The history of set theory and logic notation.]