佩尔方程
若一個丢番图方程具有以下的形式： :x^2 - ny^2= 1 且n为正整数，则称此二元二次不定方程为佩尔方程（英文：Pell's equation；德文：Pellsche Gleichung），以英國數學家命名。 若n是完全平方数，则这个方程式只有平凡解(\pm 1, 0)（实际上对任意的n，(\pm 1, 0)都是解）。对于其余情况，拉格朗日证明了佩尔方程总有非平凡解。而這些解可由\sqrt{n}的連分數求出。 佩爾方程的解 设\t…
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完美長方體
完美長方體，又稱完美盒，指任意两顶点之间的距离（即棱長、面對角線和體對角線）都是整數的長方體。 求完美長方體的棱長，即求下列方程組之正整數解： : a^2 + b^2 = d^2 : b^2 + c^2 = f^2 : c^2 + a^2 = e^2 : a^2 + b^2 + c^2 = g^2 注：a、b、c是棱長，d、e、f是面對角線長，g是體對角線長。 它相当于在欧拉长方体问题上再添上了最后的这个条件。 截至2015年5月，還沒…
三立方数和
三立方数和问题（）是指丢番图方程x^3+y^3+z^3=n是否存在整数解的问题。由于立方数模9同余0、1或-1，三立方数和模9不可能同余4或5，因而这是整数解存在的一个必要条件。然而，对于该条件是否同时为充分条件目前仍未有定论。 小整数例 n=0时，若存在非平凡的三立方解，则费马大定理找到反例。此时三个立方数中必有两个同号，经移项，就会出现两正整数立方和等于另一正整数立方的情况。由于欧拉早已证明幂次为3的费马大定理，在n=0时的三立方和…
希爾伯特第十問題
希爾伯特的第十個問題，就是不定方程（又稱為丟番圖方程）的可解答性。這是希爾伯特於1900年在巴黎的國際數學家大會演說中，所提出的23個重要數學問題的第十題。 這個問題是問，對於任意多個未知數的整係數不定方程，要求給出一個可行的方法（），使得借助於它，通過有限次運算，可以判定該方程有無整數解。 這裡德文的方法（），就是英文所謂的演算法（）。對於演算法的概念我們是不陌生的，例如遠在古希臘時代，人們就知道可以使用輾轉相除法，求兩個自然數的最大…
海伦三角形
海伦三角形是边长和面积都是有理数的三角形。 性质 任何边长为勾股数组的三角形都是海伦三角形，因为边长都是整数，而它的面积是两个直角边的积的一半，所以是有理数。 一个不含直角的海伦三角形的例子，是边长为5、5和6的三角形，它的面积是12。这个三角形可由两个边长为3、4和5的直角三角形拼合而成。这种方法一般都是有效的。我们取两个边长分别为（a，b，c）和（a，d，e）的直角三角形，并把它们拼合起来，便得到一个边长为c、e和b + d的三角形…