三立方数和问题（）是指丢番图方程x^3+y^3+z^3=n是否存在整数解的问题。由于立方数模9同余0、1或-1，三立方数和模9不可能同余4或5，因而这是整数解存在的一个必要条件。然而，对于该条件是否同时为充分条件目前仍未有定论。
小整数例
n=0时，若存在非平凡的三立方解，则费马大定理找到反例。此时三个立方数中必有两个同号，经移项，就会出现两正整数立方和等于另一正整数立方的情况。由于欧拉早已证明幂次为3的费马大定理，在n=0时的三立方和只有如下平凡解：
:a^3 + (-a)^3 + 0^3 = 0.
n=1,2时，存在如下解系，有无数解：
:(9b^4)^3+(3b-9b^4)^3+(1-9b^3)^3=1
以及，
:(1+6c^3)^3+(1-6c^3)^3+(-6c^2)^3=2.
上述表示经缩放可得，任意立方数或立方数的二倍都有三立方和。除上述表示外，n=1也有其他三立方和解系，n=2有如下著名解：
:1214928^3 + 3480205^3 + (-3528875)^3 = 2,
:37404275617^3 + (-25282289375)^3 + (-33071554596)^3 = 2,
:3737830626090^3 + 1490220318001^3 + (-3815176160999)^3 = 2.
然而，已经证明只在1和2处存在能被四次多项式参数化的解析表示。即便在n=3处，也没有参数化解系。在1953年写道，除了其小整数解，“我对其一无所知”，即：
:1^3+1^3+1^3=4^3+4^3+(-5)^3=3
“我”也不知道为什么这三个数都满足模9同余。2019年9月前，上述两式曾經是n=3長期以來仅有的2組已知解，但就在同一月，發現了第3組解：
:569936821221962380720^3+(-569936821113563493509)^3+(-472715493453327032)^3=3
计算结果
1955年起，莫德尔（）等许多学者都尝试过使用计算机寻找该问题的解。对于1000以内的正整数n，埃尔森汉斯（）与雅内尔（）于2009年使用诺姆·埃尔奇斯提出的基于格规约的方法找到了\max(|x|,|y|,|z|)范围内的所有解。2016年，于斯曼（）使用同样的方法将搜索上界提升至\max(|x|,|y|,|z|)。到此时为止，n的正整数中，33与42以外所有模9不同余4或5的n都找到了至少一组整数解。
2019年，采用一种新方法发现了n=33的一组解：
:33=8866128975287528^3+(-8778405442862239)^3+(-2736111468807040)^3
此时，他在\min(|x|,|y|,|z|)的范围里尚没有找到n=42的解。
随后在2019年9月，布克和最终敲定了42的一个解，并在MIT数学系的网站上贴了出来：
:42=(-80538738812075974)^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3
这个解的获得在Charity Engine全球网络（）上耗费了130万机时。
至此1到100之間的所有整數都確認了是否有非零整數解。，未能求解最小整数是n=114，如果有解的話，(|x|,|y|,|z|)至少有一數大於100000000000。
在2021年1月初，又解決了579：
:579=143075750505019222645^3+(-143070303858622169975)^3+(-6941531883806363291)^3
至此，仅剩的未解決的在1000以內的整数是114、390、627、633、732、921和975，一共有7個。
注释
参考文献
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