優環

在交換代數中，尤其在代數幾何的應用中，優環（法文：anneau excellent、英文：excellent ring）是一類性質與完備局部環相近的交換諾特環。這類環首先由亞歷山大·格羅滕迪克定義。

代數幾何與數論中出現的諾特環通常都是優環，此外優環也與奇點消解相關；廣中平祐在1964年證明了特徵為零時的奇點消解定理。

定義
以下所論之環皆假定為么交換環。

• 一個包含域 k 的環 R 被稱作在 k 上是幾何正則的，若且唯若對任何有限擴張 k'/k，環 R \otimes_k k' 都是正則的。
• 一個環同態 \phi: R \rightarrow S 被稱作是正則的，若且唯若它是平坦的，且對任何 \mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(R) 其纖維 S \otimes_R k(\mathfrak{p}) 在剩餘域 k(\mathfrak{p}) 上幾何正則。
• 一個環 R 被稱作 G-環（或格羅滕迪克環），若且唯若它是諾特環，且所有的形式纖維都是幾何正則的；第二個條件意謂：對任何 \mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(R)，環同態

: R_\mathfrak{p} \rightarrow \widehat{R_\mathfrak{p}} 是正則的。

• 一個環 R 被稱作是擬優環，若且唯若它是個 G-環，且對任意有限生成的 R-代數 S，\mathrm{Spec}(S) 的奇點集是閉的。
• 一個優環是一個泛鏈的擬優環。

實際應用中的諾特環幾乎都是泛鏈的，因此擬優環與優環幾無差別。

若一個局部諾特概形 X 上有開覆蓋 U_i，使得每個 U_i 都是優環的譜，則稱 X 為優概形。

優環的例子

• 完備局部諾特環，包括域。
• 特徵為零的戴德金環，包括整數環 \mathbb Z。
• \mathbb R 或 \mathbb C 上的收斂冪級數環。
• 優環的局部化仍為優環。
• 優環上的有限生成代數仍為優環。

以下將給出一個特徵 p>0 的一維局部正則環而非優環的例子。設 k 是一個特徵 p 的域，[k:k^p]=\infty，令 R := kX，更令
: A := \{\sum_{a_i}X^i \in R : [k^p(a_1, \cdots) : k^p]
則 A 有非幾何正則的的形式纖維，故非優環。

凡擬優環皆為永田雅宜環。

優概形與擬優概形
如果一個概形 X 有仿射開覆蓋 X = \bigcup U_\alpha，使得每個 U_\alpha 都是優環的譜，則稱 X 為優概形。此條件一旦對某個仿射開覆蓋滿足，則被所有仿射開覆蓋滿足。

擬優概形的定義類此。

奇點解消
擬優環與奇點解消問題關係密切，這似乎也是格羅滕迪克定義擬優環的動機。格羅滕迪克在 1965 年觀察到：若能在所有完備的局部諾特整環中消解奇點，則在所有既約的擬優環中亦然。廣中平祐在1964年證明了：特徵為零時，完備局部諾特整環中皆可消解奇點。因此在特徵為零的域上，凡優環皆可消解奇點。反之，若能在諾特環 R 上的所有有限生成整代數上消解奇點，則 R 是擬優環。

文獻
*
A. Grothendieck, J. Dieudonne, [http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1965__24__5_0 Eléments de géométrie algébrique*] Publ. Math. IHES , 24, section 7 (1965)
Hironaka, Heisuke [http://links.jstor.org/sici?sici=0003-486X%28196401%292%3A79%3A1%3C109%3AROSOAA%3E2.0.CO%3B2-M Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero.* I], [http://links.jstor.org/sici?sici=0003-486X%28196403%292%3A79%3A2%3C205%3AROSOAA%3E2.0.CO%3B2-I II]. Ann. of Math. (2) 79 (1964), 109-203; ibid. (2) 79 1964 205-326.
H. Matsumura, Commutative algebra* ISBN 0-8053-7026-9, chapter 13.